136 DIE FUND AMENTALCL ASSEN DER ZUSAMMENSETZBAREN ARITHMETISCHEN FORMEN. 
rum secundi gradus compositione« (1851)*), durchgeführt; aber auch 
der hier gegebene Beweis lässt sich noch vereinfachen, wie auch Herr Kro 
ne eher bemerkt hat, wenn man von vier eigentlich primitiven, paarweise 
einander aequivalenten Formen, deren mittlere Coëfiicienten einander gleich, 
deren erste Coëfiicienten zu einander relativ prim sind, ausgeht und wenn 
man die Composition zweier dieser Formen, über deren Aequivalenz oder 
Nichtaequivalenz keine Voraussetzung gemacht ist, vergleicht mit der Com 
position der beiden andern, diesen einzeln aequivalenten Formen. 
In den »Disquisitiones Arithmeticae« giebt Gauss die Eintheilung 
der Classen in Genera, leitet mit Hülfe der Lehre von der Composition der 
Formen eine obere Grenze für die Anzahl dieser Geschlechter ab und erhält 
dadurch das Hülfsmittel zu einem Beweise des Reciprocitäts-Satzes für die 
quadratischen Reste. Die vollständige Bestimmung der Anzahl der Geschlechter 
leitet Gauss in jenem Werke aus der Lehre von der Composition der Formen 
und der Theorie der ternären quadratischen Formen ab. Dieselbe Bestimmung 
giebt Dirichlet 1839 in seinen »Recherches sur diverses applica 
tions de l’analyse infinitésimale à la théorie des nombres«**) auf 
einem ganz verschiedenen Wege ohne jene beiden Gebiete der Zahlentheorie 
zu berühren. 
Die Lehre von der Composition der Classen bietet Gauss ein Mittel 
dar zu noch einer anderen Eintheilung und Anordnung derselben, nämlich nach 
Perioden, von denen jede alle die Classen umfasst, welche durch wiederholte 
Composition aus irgend einer in derselben entstehen können. Diejenigen 
Determinanten, deren sämmtliche Classen des sogenannten Haupt-Geschlechts 
in einer einzigen Periode dargestellt werden, nennt Gauss reguläre, die 
anderen irreguläre, und für diese bestimmt er Exponenten der Irregularität. 
Einige Eigenschaften dieser Exponenten werden in dem Artikel 30 6, VIII der 
Disquisitiones Arithmeticae***) ohne Beweis aufgestellt, sowie auch einige 
Andeutungen über eine zweckmässige Auswahl der Perioden in dem Artikel 
306, IX gegeben. Unter Gauss handschriftlichem Nachlasse findet sich für die 
Durchführung dieser Untersuchung ein kurzer wahrscheinlich im Jahre 1801 auf- 
*) [Diriclilet’s Werke, Bd. II, S. 105—114.] 
**) [Diriclilet’s Werke, Bd. I, S. 411—496.] 
***) [Gauss’ Werke, Bd. I, S. 374.]