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THÉORIE ANALYTIQUE DES DETERMINANTS. 
où les deux séries d’indices yj 1 , rj a , ..., rj n ; x t , x 2 , x n représentent respective 
ment h t , h 2 , ..., h n et Zq, Jc a , ..., k n dans un ordre quelconque. 
Désignons maintenant le déterminant par la relation 
E(/q, 7q, ..., K | 7q, Jc a , ..., fc n ); 
j’obtiens, parmi plusieurs expressions de formes très-différentes, la suivante 
E (7q, 7q, • • • ; k n \ Jc l , Z 2 , •. •, Zq) 
v<”) v< B) E E E 
^JTj .¿JX x t - L 'ï) 2 X 2 • • • 
1.2...» 
m = n îi = ni—1 i = n ß = b— 1 
><Bn II ( r l«-v)( x » i -v)x3n n (h-h ß )(Jc b -1Cß), 
m = 2 = i 6 — 2 /9 = 1 1 
où la sommation multiple 2™ s’applique, pour chacune des quantités tq, à toutes 
les valeurs A,, A 2 , ..., A n , et de même la sommation 2? pour chacune des 
quantités x à toutes les valeurs 7q, Zq, ..., Zq. 
Mon Mémoire contient les démonstrations des théorèmes connus pour la 
décomposition d’un déterminant en déterminants des systèmes dérivés, ainsi 
que pour la multiplication de deux déterminants. Ces propositions, comme 
la décomposition du second déterminant de P faff*) en deux facteurs égaux 
entre eux (les deux résolvants de Jacobi**)), ne sont autre chose que des 
manières différentes d’effectuer la sommation dans l’expression que j’ai donnée 
du déterminant. 
Comme théorème nouveau, je me permets de vous citer ici le dernier de 
mon Mémoire : Le déterminant dont les 2vx2v éléments remplissent 
les conditions = — E 7i ^ peut être réduit à la forme 
E (Zq, Zq, ..., 7q v | Jc 1 , 7q, •. •, Z 2V ) 
= y 2 5 E E .E xE E .E 
^ -^7] 3 7j 4 ' ^¡2V ^ *1 *2 *3*4 X !V-lX 2 » 
0i>*) 
«n = n fi —ni—1 
3 XT X X (Tim *]u) fam *u) J 
ni — 2 fl — l 
où les indices t^, 7j a , ... \ v ainsi que x 2 , x 2 , ..., x j(i ont les mêmes va 
leurs que Zq, A 2 , .h 2v et n’en diffèrent que par l’ordre de succession. 
*) [Crelle’s Journal f. d. r. u. a. Math., Bd. II, S. 355.] 
**) [Jacobi, Gesammelte Werke, Bd. IV, S. 17—29.]