XXL 
NOUVELLE DÉMONSTRATION 
DE LA LOI DE RÉCIPROCITÉ, DANS LA THÉORIE 
DES RÉSIDUS QUADRATIQUES. 
Note présentée par M. H ermite. 
[Comptes rendus hebdomadaires des séances de l’Académie des Sciences, T. 88, p. 1073—1075. 
Paris, 26 mai 1879.] 
Désignons respectivement par 
Noni w>1/ Poscp(fi,v), Nom^Négcp(p,v) 
le nombre des valeurs positives et le nombre des valeurs négatives de la 
fonction cquand les variables n et v prennent des valeurs données. 
Selon le théorème de Gauss (Theorematis arithmetici demonstratio 
nova, Gôttingue 1808; Oeuvres de Gauss, t. II, p. 4), pour un nombre 
premier impair m, un nombre n non divisible par m est résidu ou non résidu 
quadratique, suivant que les fractions en valeur absolue les plus petites con 
tenues dans les w ~~ 1 nombres 
m — 1 
1.n 2.n 3.n 2 U 
m ’ m 1 m ’ ' ! m 
comprennent un nombre pair ou impair de valeurs négatives. En désignant 
par FrAbs(æ) la fraction en valeur absolue la plus petite contenue dans %, 
c’est-à-dire, la différence entre x supposé réel et positif et le nombre entier 
qui en approche le plus par excès ou par défaut, on a, pour le symbole de 
48