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NOUVELLE DÉMONSTRATION DE LA LOI DE RECIPROCITE 
^ = (_l) N ° m ^ Né g FrAbS (^-) 
.. _ m —1 
f 4 1,2,3,,.., - . 
On voit immédiatement que, si x n’est pas la moitié d’un nombre entier 
et si v parcourt la série v = 1, 2, 3, .oo, on a pour 
Nom v Pos [x + -i- — v^j — Nom v Pos (x — v) 
la valeur zéro ou l’unité positive, selon que Fr Abs (æ) est positive ou néga 
tive; par conséquent, 
Legendre, 
(L) 
où 
(20 
(3.) Nom^NégFr Abs 
np 
m 
— Nom iiV Pos 
(^ + Y - ''j - Nom - ’ Pos (^T “ 4 
Les fonctions — + ~ — v et — — v deviennent négatives pour a < i 
et — ; ainsi, quand le nombre n est impair, on a, dans l’équation (3.), 
seulement les valeurs 
(4.) 
En posant v = 0 - — v\ on a pour v' les mêmes valeurs que pour v, 
prises seulement dans l’ordre inverse. Si l’on effectue cette substitution dans 
le premier terme du second membre de l’équation (3.), si Гоп introduit en 
suite v au lieu de v\ et qu’on divise par un nombre positif les fonctions 
dont le nombre des valeurs positives est à compter, on obtient facilement 
(5.) Nom u Nég Fr Abs — Nom v Pos (— + — — 4-) — Nom w r Pos (— —), 
v ' * ° m ^ \m n 2) it,r \m n) 
où ¡i et v prennent les valeurs indiquées dans l’équation (4.). 
Par la permutation de m et n, l’équation précédente devient 
(6.) Nom,, Nég Fr Abs = Nom Pos f— + — — Nom l( Pos (— —) 
v n f*' v \m n 2/ \n m) 
pour les mêmes valeurs, indiquées dans (4.), de fi et v.