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BESTIMMUNG DES QUADRATISCHEN REST-CHARACTERS. 
Bei der anderen Methode (Artikel 3 — 6 jenes Abschnittes) wird voll 
ständig die Summe der grössten Ganzen berechnet, welche in den Gliedern 
einer arithmetischen Reihe enthalten sind. Die Summe der grössten Ganzen 
bestimmt den quadratischen Rest-Character, wie Gauss hei seinem dritten 
Beweise 1808 Januar 15 (G. W., Bd. II, Seite 6) angegeben hat. 
Die letztere Methode ist von Herrn Chr.‘Zeller als Ausgangs-Punkt 
benutzt für eine von ihm in den Nachrichten der Königlichen Gesellschaft 
der Wissenschaften zu Göttingen (1879, Seite 197 — 216) zur Berechnung 
des quadratischen Rest-Characters aufgestellte Regel, welche ein einfacheres 
Rechnungsverfahren als alle übrigen bis dahin bekannten Regeln darbietet. 
Bei der Methode des Herrn Zeller bestimmen sich auch in gleich einfacher 
Weise diejenigen Summen grösster Ganzen, welche mit dem quadratischen 
Rest-Character zwischen zwei ungeraden Zahlen in enger Beziehung stehen. 
Die von Herrn Zeller gegebenen Andeutungen über die Auffindung 
und den Beweis seiner Regel erledigen den Fall, dass alle Reste in dem 
Euklidischen Algorithmus ungerade Zahlen sind. 
Die Regel selbst beschränkt sich auf den Fall, dass alle Reste positive 
Vorzeichen haben. Es schien mir wünschenswertli zu sein, eine Regel auf 
zufinden, welche von dieser Voraussetzung frei ist. 
Bei der in der vorliegenden Abhandlung mitzutheilenden Ableitung der 
neuen Lehrsätze ergab sich als specielle Anwendung ein Beweis, der alle 
Fälle der Zell er’sehen Regel umfasst. Ausserdem lassen die neuen Sätze 
die Bedeutung derjenigen Zahl erkennen, welche für einen geraden Modul 
durch eine analoge Formel bestimmt wird, wie die verallgemeinerte Gaussische 
characteristische Zahl für einen ungeraden Modul. 
Hiernach berechnen sich auch einfach die Summen der grössten ganzen 
Zahlen, welche mit dem quadratischen Rest-Character zwischen zwei unge 
raden Zahlen oder zwischen einer geraden und einer ungeraden Zahl in 
naher Beziehung stehen; die Vorzeichen der Reste in dem Euklidischen 
Algorithmus können dabei ganz willkürlich genommen sein.