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auf den Hauptkreis konjugierten Punkten identisch; das 
heißt, jeder dieser Strahlen schneidet jc und den Hauptkreis 
in denselben beiden Punkten, ist eine Hauptsehne von x. So 
können wir die Hauptsehnen von jc auch bei imaginärem 
Hauptkreis konstruieren; wir brauchen nach dem früheren 
nicht erst nachzuweisen, daß wir immer zwei reelle Geraden 
erhalten. 
Zweiter Abschnitt. 
Die einfachsten Berührungstransformationen, die 
Kreise in Kreise überführen. 
§ I. Aufstellung der einfachsten Transformationen „($" der 
Ebenen des Raumes, die auf einer Kugel eine Berührungs 
transformation der Kreise erzeugen. 
1. Da ein Punkt in der Theorie der Berührungstrans 
formationen als Elementverein aufzufassen ist, wird man, 
wenn es sich um die Berührungstransformationen der Kreise 
handelt, jeden Punkt als einen Kreis ansehen müssen. Um 
recht einfache Verhältnisse zu erhalten, machen wir die 
Voraussetzung: Auf einer Kugel 0 bestehe eine alge 
braische Berührungstransformation 33, die jedem Punkt einen 
einzigen Kreis zuordnet, der nicht nebenbei auch noch zu 
einem anderen Punkte gehört, und die jeden Kreis in eine 
Kurve überführt, die sich aus lauter Kreisen zusammensetzt; 
dasselbe verlangen wir von der inversen Transformation 33 -1 . 
Mit 33 verbunden ist eine algebraische Verwandtschaft 
@ zwischen den Ebenen des Raumes, und wir können uns 
umgekehrt 33 durch (£ erzeugt denken. Da ein Punkt von 
P ein Kreis ist, dessen Ebene 0 berührt, sehen wir: 
Die mit 53 verbundene algebraische Ebenenverwandtschaft 
@ ordnet jeder Berührungsebene der Kugel 0 eindeutig eine 
Ebene zu, die nicht nebenbei noch einer anderen Berührungs 
ebene entspricht.