Einleitung. 
S. Lie hat auf analytischem Wege 1 ) die sämtlichen Be- 
rührungstransformationen bestimmt, die die geodätischen 
Kreise einer Fläche konstanter Krümmung zulassen. Über 
die Punkttransformationen unter ihnen besteht, soweit sie 
sich auf die euklidische Ebene beziehen, eine reiche Literatur, 
und in neuester Zeit haben die Herren F. HausdorfT*) und 
H. Liebmann 8 ) diese Untersuchungen auch auf die nicht 
euklidische Geometrie ausgedehnt; was ferner die Zusammen 
setzung der Berührungstransformationen der Kreise in der 
euklidischen Ebene angeht, so hat Herr G. Sclieffers 4 ) auf 
synthetischem Wege gezeigt, daß dazu außer den Punkttrans 
formationen nur zwei sehr einfache eigentliche Berührungs 
transformationen nötig sind, die „Dilatation“ und die von 
ihm eingeführte „3-Transformation“. 
Der Zweck der vorliegenden Arbeit nun ist es, auf eine 
einheitliche und übersichtliche Weise die Berührungstrans 
formationen der Kreise für die drei ebenen Geometrien auf- 
b Vgl. Lie-Scheffers, „Geometrie der Berührungstransformationen“, 
Bd I, Abschn. 1, Kap. 5 
2 ) „Analytische Beiträge zur nichteuklidischen Geometrie“. (Berichte 
über die Verhandlungen der Kgl. sächsischen Gesellschaft der Wissen 
schaften zu Leipzig, 1899, 51. Bd, S. 161.) 
3 ) „Synthetische Ableitung der Kreisverwandtschaften in der Loba- 
tschefskijschen Geometrie.“ (Ebenda. 1902, 54. Bd., S. 244) 
4 ) „Synthetische Bestimmung aller Berührungstransformationen der 
Kreise in der Ebene.“ (Ebenda, 1899, 51. Bd. S. 145.)