Erster Abschnitt. 
Die einfachsten Punktverwandtschaften, die Kreise 
in Kreise überführen. 
§ I. Die Koliineationen, die eine Kugel in sich selbst 
* verwandeln. 
1. Die einfachsten Kreisverwandtschaften der Ebene 
werden wir aus den einfachsten Kreisverwandtschaften der 
Kugel erhalten. Deshalb setzen wir auf einer Kugel O eine 
umkehrbar eindeutige, algebraische Punktverwandtschaft $ 
voraus, die jedem Kreis ivieder einen Kreis zuordnet; sie 
führt die Kreise, die durch zwei feste Punkte gehen, über in 
die Kreise, die durch die entsprechenden beiden Punkte laufen. 
Fassen wir die Ebenen der Kreise ins Auge, so erhalten 
wir durch $)3 eine umkehrbar eindeutige Verwandtschaft der 
Ebenen des Raumes, die jeden Ebenenbüschel wieder in einen 
Ebenenbüschel überführt, also eine Kollineation; und zwar 
vertauscht sie die Berührungsebenen von cP untereinander, 
da jeder Punkt von O als Kreis aufzufassen ist, dessen 
Ebene die Kugel O berührt. Mit dieser Kollineation der 
Ebenen des Raumes ist eine Kollineation der Punkte des 
Raumes verbunden, die die Punkte von <D unter einander 
vertauscht, und eben diese so erzeugte Verwandtschaft 
zwischen den Punkten von <P ist unsere ^5. Wir sehen 
hieraus: