Abschnitt YLII. Capitel III. § 11.
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mit denen ganzer Exponenten cofundional, wenn man so sagen
darf, Zusammenhängen.
b) Wir wissen, wie man aus einer gegebenen Function
die n Cofunctionen w tcr Classe bildet, aus diesen , wenn die
selben als Hauptfunctioneu aufgefasst werden, von Neuem n,
Cofunctionen Wj ter Classe u. s. f., und wie die so successive
mehrfach wiederholten Operationen durch ein directes Ver
fahren ersetzt werden können, was wir an anderer Stelle
unter der Benennung ,, Subor dinirte Cofunctionen“ behandelt
haben. Die Umkehrung dieser Operationen wird diejenige
Operation sein, mittelst welcher zu einer gegebenen Function
f\x) diejenige Function ip(x) aufgefunden werden soll, von
welcher die gegebene f\x) eine i te Partialfunction n ler Classe
sei. In der Regel führen die umgekehrten Operationen auf
gewisse Unbestimmtheiten einerseits und auf Erweiterungen
der ursprünglichen Begriffe und Definitionen andrerseits. Auch
hier ist dieses der Fall. Nur unterscheiden sich hier wesent
lich die circumplexen und die Partialfunctionen von einander.
Für die ersteren ist die Aufgabe sofort bestimmt. Um Däm
lich ip(x) zu finden, aus der eine gegebene hf e circumplexe
Function nf er Classe f(rffx) in ihrem ganzen Convergenz-
gebiete eine h le circumplexe Function w ter Classe werde, braucht
man nur in der verlangten Bedingungsgleichung
1) ^{r h n X) =f(r*‘X)
die (—h) le circumplexe Function n ler Classe zu bilden, d. h.
in beiden Seiten der Gleichung r~ h x anstatt x zu setzen,
und man bekommt die Lösung
2) * (») = f(r\- h x) - r= f «*} *)
Würde nun eine andere Function i> l (x) ebenfalls eine Lösung
der Aufgabe sein, so würde aus
*) Ich habe an anderer Stelle den leicht zu führenden Beweis ge
geben, dass man in r h n den Classenindex n und den Ordinalindex h
mit einer und derselben Zahl m zugleich multipliciren darf; es kann
dann r™‘ h n wiederum als die (m-h) le Potenz einer primitiven Wurzel be
trachtet werden von x mn — 1 = 0, falls r h n die h te Potenz einer primi
tiven Wurzel von x n — 1 = 0 war.
