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Abschnitt VIH. Capitel III. § 11. 
( r n x ) = f( r n t X ) 
folgen, dass innerhalb des Convergenzgebietes von f (x) 
3) x) = x) 
sei; und die Bedingung der absoluten Gültigkeit würde (für 
die absoluten Werthe von x) somit ausreichen, die Lösung 
der Aufgabe eindeutig zu bestimmen. • 
c) Handelt es sich aber um die Auffindung derjenigen 
Function x), von der eine gegebene i ie Partialfunction 
n ier Classe, f n> i (x), eine j le Partialfunction m ter Classe werde, 
so ist dieses nicht so einfach, wie im obigen Falle. Schon 
in dem ganz speciellen Falle, wo zufällig f n ,i(x) selbst eine 
solche Potenzreihe ist, deren Exponenten die Congruenz 
s =j (mod. m) erfüllen, also wo n — m und i—j } d. h. 
wo die gegebene Function die Form 
4) fn, i (x) = frn,j (x) = cij X* -f a m +j x m + j + a 2m +jX 2m + j H 
hat, würde unserer Aufgabe jede Function 
5) ip (xj = Hq —f- x H_2 x~ —{— • • • 
genügen, in welcher nur diejenigen A, deren Indices mit 
denen von a in f m j ix) übereinstimmen, den entsprechenden 
a gleich zu sein brauchen, also 
6) A pm+j = Upm+j; 
alle übrigen A können aber vollkommen willkürlich bleiben, 
wenn sie nur so beschaffen sind, dass ^ (x) in demselben 
Gebiete wie f m j (x) convergirt. (Ja es ist sogar eigentlich 
nur nöthig, dass ip(x) überhaupt in irgend einem Gebiete absolut 
convergent sei; dieses würde schon genügen, um r‘ n x anstatt 
x zu setzen, die Function mit r~ Jh zu multipliciren und die 
Summe nach h = 0, 1,2, • • , m — 1 zu nehmen; diese 
Summe würde dann mit f m ,j{x) identisch sein, sobald die 
Bedingungsgleichung (6) erfüllt ist.) Mit andern Worten: 
Die Bestimmung einer j len Partialfunction m ter Classe einer 
Function i/j (cc) lässt noch eine sehr weite Unbestimmtheit 
für die (m — 1) übrigen Partialfunctionen derselben m ten 
Classe in i/> (x) zurück.