Full text: Theorie allgemeiner Cofunctionen und einige ihrer Anwendungen (1. Band, 2. Theil, 1. Heft)

Abschnitt VIII. Capitel IV. § 13. 
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9* 
9>0,0 O — ff Q ) = «0,0 + «o,#0» — ff o) 3 ’ 
<Pho(% — # 0 ) = 3 a® 0 + 3 «i, 3{% - # 0 ) 3 > 
g>2,o(® — ffo) = 3a 0 ,o + 3 «2,3 (# — .^o) 3 ; 
so dass wir nach der obigen Theorie berechtigt sind, eine 
Potenzreihe f\x — g 0 ) von der Beschaffenheit zu suchen, dass 
ihre drei circumplexen Functionen dritter Classe in der Um 
gebung von x — g 0 für jeden Werth von x die drei Wur 
zeln der Gleichung repräsentiren. Zur Bestimmung der Coeffi- 
cienten a von f(cc — g 0 ) haben wir dann die drei identischen 
Gleichungen: 
Po 
Pi 
Pi 
(0) 
Pi 
Po 
Pi 
-j- <Po,o(% 
— ffo) 
= 0, 
P2 
Pi 
Po 
(1) 
3 
Po 
Pi 
Pi 
Po 
— 9o) 
= 0, 
(2) 
3p 0 + w>0 
— ffo) 
= 0. 
Aus (2) ergeben sicli sofort alle a, deren Indices durch 
3 theilbar sind, nämlich a 3p — — cc 2 , 3p - : und somit existiren 
in unserem Falle, wo alle a 2>3p = 0 für p > 1, in der ge 
suchten Function f(x — g 0 ) überhaupt nur zwei Glieder, 
deren Exponenten = 0 (mod. 3), nämlich a 0 -f- a 3 (x — i/ 0 ) 3 
und zwar sind ihre Coefficienten 
= — Oo, 0 j ^3 =ss ^2,3 • 
Ferner hat man aus den Coefficienten von (x — g 0 ) 3 , 
welche für sich verschwinden müssen, 
nur sind die Ausdrücke für die berechneten Coefficienten complicirter; 
und unser specieller Fall ist aus dem allgemeinen direct dadurch zu 
erhalten, dass man die 0: mit höheren Indices gleich Null setzt. Es 
sind natürlich auch andere Specialisirungen möglich und wir wollen 
in der That an anderer Stelle andere Voraussetzungen über diese 
Potenzreihen machen, um dadurch in ganz analoger Weise die 
Lösung allgemeiner algebraischer Functionen zu erwirken.
	        
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