Abschnitt VIII. Capitel IV. § 13.
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9*
9>0,0 O — ff Q ) = «0,0 + «o,#0» — ff o) 3 ’
<Pho(% — # 0 ) = 3 a® 0 + 3 «i, 3{% - # 0 ) 3 >
g>2,o(® — ffo) = 3a 0 ,o + 3 «2,3 (# — .^o) 3 ;
so dass wir nach der obigen Theorie berechtigt sind, eine
Potenzreihe f\x — g 0 ) von der Beschaffenheit zu suchen, dass
ihre drei circumplexen Functionen dritter Classe in der Um
gebung von x — g 0 für jeden Werth von x die drei Wur
zeln der Gleichung repräsentiren. Zur Bestimmung der Coeffi-
cienten a von f(cc — g 0 ) haben wir dann die drei identischen
Gleichungen:
Po
Pi
Pi
(0)
Pi
Po
Pi
-j- <Po,o(%
— ffo)
= 0,
P2
Pi
Po
(1)
3
Po
Pi
Pi
Po
— 9o)
= 0,
(2)
3p 0 + w>0
— ffo)
= 0.
Aus (2) ergeben sicli sofort alle a, deren Indices durch
3 theilbar sind, nämlich a 3p — — cc 2 , 3p - : und somit existiren
in unserem Falle, wo alle a 2>3p = 0 für p > 1, in der ge
suchten Function f(x — g 0 ) überhaupt nur zwei Glieder,
deren Exponenten = 0 (mod. 3), nämlich a 0 -f- a 3 (x — i/ 0 ) 3
und zwar sind ihre Coefficienten
= — Oo, 0 j ^3 =ss ^2,3 •
Ferner hat man aus den Coefficienten von (x — g 0 ) 3 ,
welche für sich verschwinden müssen,
nur sind die Ausdrücke für die berechneten Coefficienten complicirter;
und unser specieller Fall ist aus dem allgemeinen direct dadurch zu
erhalten, dass man die 0: mit höheren Indices gleich Null setzt. Es
sind natürlich auch andere Specialisirungen möglich und wir wollen
in der That an anderer Stelle andere Voraussetzungen über diese
Potenzreihen machen, um dadurch in ganz analoger Weise die
Lösung allgemeiner algebraischer Functionen zu erwirken.