Abschnitt VIII. Capitel IV. § 15. 
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gesuchte Potenzreihe von vornherein als nullte Partialfunction 
4 ler Classe voraussetzen, so dass dieselbe lautet: 
f{x)=^a (i -\-a A x^-Pa^-^a vl x n -\-a^x^-\-a^x 2() ~| , 
so dass unsere vier Partialfunetionen fünfter Classe, welche 
uns interessiren (es ist ja p x = 0), als subordinirte Partial- 
functionen, eigentlich als solche 20 ter Classe auftreten: 
Po = Pö.o = «o + + ¿V 40 H ; 
p 2 = Po,2 = a l2 x Vi a 32 x i2 -f- a b2 iv 52 -{-•••, 
lh = Ps,3 = a s x 8 -(- a n x 28 -f a 4S a: 4ä -f- • • •, 
Pi =P5,i = ci 4 x 4 -f a. u x 2i -f a 44 £ 44 + • • •. 
Setzt man jetzt diese Werthe in die obigen Bedingungs 
gleichungen ein, so erhält man dieselben in solcher Gestalt, 
dass aus jedem Coefficienten derselben Avirklich alle Coeffi- 
cienten der gesuchten lieihe bestimmt werden, welche zu der 
entsprechenden Gruppe gehören. Man hat nämlich (wenn 
man die Gleichung (1) durch ¿r 4 , die Gleichung (2) durch x 8 
und die Gleichung (3) durch x n dividirt, was offenbar erlaubt 
ist, da die Gleichungen auch für a;s:0 befriedigt werden 
sollen) 
(0) 0 = (a 0 5 -f- ao,o) + (a 4 5 + 5a 0 4 a 20 + 20 a 0 2 a 4 tf 8 2 );£ 20 -[- 
—f- 2 üq ctg (ííq a 4 a 2 g —}- a 4 a 3 a 2 o)l ' 
scheinbar überflüssigen «-Deutigkeit unserer Lösung darzulegen, welche 
darin besteht, dass zur Bestimmung eines der Coefficienten immer eine 
binomische Gleichung « ten Grades auftritt. Wir werden später noch Ge 
legenheit finden, von dieser Bemerkung nützliche Folgerungen zu ziehen.— 
Ueberhaupt werden oft solche einfache Ueberlegungen die in der ganzen 
obigen Theorie nöthige complicirte Rechnung, wie wir später sehen 
werden, sehr vereinfachen. Hier kommt es uns aber mehr darauf an 
zu zeigen, dass unsere rein formalen Rechnungen ohne jede Speculation 
zu denselben Resultaten führen, wenn auch manchmal nicht auf dem 
kürzesten Wege. — Die Complication macht aber dann in der Regel 
selbst auf die nöthige Vervollständigung der Methoden aufmerksam.