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Abschnitt VIII. Capitel I. § 4. 
bedeuten zu lassen, wenn es sich darum handelt, Uebersicht 
und Uebereinstimmung in Formeln zu erhalten.) 
Der wesentliche Unterschied zwischen beiden Operationen 
liegt also darin, dass in der ersteren der Factor u n +{, so lange 
es sich um die fortgesetzten Operationen lediglich in Bezug 
auf U{ handelt, als von u x völlig unabhängig betrachtet wird; 
und wenn es sich um die Ausführung der Operation nicht 
bloss nach u x , sondern auch nach u n +1, u 2n +i, etc. handelt 
(wo nämlich die Function, auf welche die Operation ausgeübt 
werden soll, von vornherein schon diese Grössen besitzt, die 
für sie als Variable betrachtet werden sollen) nach der Formel 
s n d(F(u x ,u 2 M-f-t;■’■)) F-\-s n F—f—Snd —}- 
—J- 2 [ß n o u ^ • s n $u n _j_( d ~|-s n o'm' s n d —{-s n d Un _|_j ’ * ■] 
und zwar am besten nach der oben (am Schlüsse von (a) in 
diesem Paragraphen) angegebenen Methode (für die Grössen 
Un+i, u 2n +\, etc. vorläufig ui l} ui a , etc. einzusetzen) zu ver 
fahren sein wird. 
Bei der zweiten Auffassung soll dagegen die Operation 
S*d zwar immer lediglich in Bezug auf u x ausgeführt werden, 
jedoch sollen die durch die Operation selbst hinzutretenden 
Factoren u n +1, etc. als von u x nicht ganz unabhängig be 
trachtet werden, und zwar soll also allgemein (aus Gründen, 
die sich später zeigen werden) die Formel gelten 
(C) 
npn-\-1 
Vl 
Für die Berechtigung einer solchen neuen Definition und 
Bezeichnung ist es nur nöthig zu zeigen, dass dieselbe nicht 
im Widerspruch mit der Obigen 
S n dF(ui) = F'(u{) • u n+ 1 
und insbesondere mit 
S n d (Mj") = m • u™ 1 • u n +\ 
steht. In der That ist aber nicht bloss kein Widerspruch 
vorhanden, sondern es lässt sich sogar diese letzte Formel 
für den Fall, wo m eine ganze positive Zahl ist, direct aus 
(C), welche als Definition gelten sollte, herleiten, wenn man 
nur für die so definirte Operation das Multiplicationsgesetz