Abschnitt VIII. Capitel I. § 5. 
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wenn die Bestimmungen für die Potenzreihe durch eine 
recurrirende, zwischen t Coefficieilten derselben stattfindende 
Bedingungsgleichung ausgedrückt sind; oder auch 
nach (II) 
Kid(C q t ) 
fn,i( X ) nln — 
wenn die Bedingungen einen beliebigen Coefficienten durch 
einen beliebigen vorhergehenden bestimmen. Diese Dar 
stellungsweise, welche, wie wir gesehen haben, zugleich auch 
die Form derjenigen Function F{x), welche eine gewisse 
ganze Function von unserer f n ,i(%) sein soll, in sich fasst, 
hat noch• ausserdem den Vortheil, dass sie gewisse Eigen 
schaften der Coefficienten ganzer Functionen von Partial 
functionen ganz besonders ausprägt. Ja sogar mehr als das. 
Da nämlich eine Potenzreihe überhaupt eine unendliche 
Summe von ganzen Functionen ist, so müssen unter den 
jenigen Berücksichtigungen, unter welchen der Uebergang 
von ganzen rationalen zu ganzen transcendenten, oder irra 
tionalen Functionen (um den Ausdruck von Weierstrass zu 
gebrauchen) gestattet ist, die obigen Formeln (I) und (II) 
auch für F(f(x)) gelten, wenn F(x) selbst eine gewisse 
Potenzreihe von x ist. Es würden sich daran ganz analoge 
Untersuchungen knüpfen lassen, wie die Weier strass’sehen 
für die Begründung der analytischen Functionen durch den 
Uebergang von den endlichen ganzen Functionen zu den un 
endlichen. Oder strenger gesagt, es würden sich jene Unter 
suchungen in der Form unserer Darstellungsweise erkennen 
lassen. — Dass sich allgemeine Gesetze über Potenzreihen 
durch diese Formeln (da wo sie gelten) ausdrücken lassen 
müssen, ist eigentlich von selbst verständlich, weil diese 
Formeln (wo sie gelten) nicht minder als die Maclau rin’sehe 
Reihe das Bildungsgesetz aller Coefficienten in sich fassen 
und sich von jener Avesentlich nur darin unterscheiden, dass 
jene sich auf die Werthe der Function für gewisse Werthe 
der Variabein bezieht, während unsere Formeln auf die all 
gemeine Form der Function als Potenzreihe 
fix). = a 0 -{- a t x -f a 2 x 1 -j- • • • 
Bezug nehmen, und deshalb sind sie überall in solchen Fällen