100 Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke. 
den Differentialquotienten: 
6.2* - 2 .3.r 2 + 1 
dy 
dx 
12« — 6« 2 -j- 1 . 
1. Beispiel: Wenn ein elastischer Stab am einen Ende wagerecht in 
einer Mauer befestigt ist und am anderen Ende eine Last zu tragen hat (siehe 
Fig. 69), wird er nach unten gebogen. Wenn man seine Dicke vernachlässigt, 
bildet er dann eine sogenannte elastische Linie. In der Mechanik wird 
gezeigt, daß sie mit großer Annäherung durch die Funktion 
(3) y = u (Slx- — x 3 ) 
dargestellt wird. Dabei bedeutet l die Länge des freien Stabes in Metern und 
a eine durch das Material und die Größe der Last bedingte Konstante. Als 
«-Achse ist der ursprüngliche unverbogene Stab ge 
wählt, als ?/-Achse die durch die Befestigungsstelle 
in der Wand gezogene Lotrechte nach unten. 
Das Achsenkreuz hat also hier eine andere Lage als 
gewöhnlich. Die «-Einheit wird gleich der ¿/-Einheit, 
nämlich gleich einem Meter angenommen. Wie man 
sieht, wird y durch (3) als ganze Funktion dritten 
Grades von x dargestellt. 
Für x = l ist y = 2 al 3 . Dies ist die Strecke 
AB, um die der Stab am freien Ende B nach unten gebogen wird. Die Glei 
chung (3), die, wie gesagt, nur eine Näherungsformel ist, gibt nur dann an 
genähert das Richtige, wenn die Strecke AB gegenüber der Stablänge OA oder 
l ziemlich gering ist. Um aber die Form des gebogenen Stabes deutlicher 
hervortreten zu lassen, haben wir AB in Fig. 69 ziemlich groß gewählt. 
Bezeichnet man AB mit b, so ist 
b = 2 al 3 oder a — 
so daß man (3) auch so schreiben kann: 
(4) y = -^ r (3 /« 2 -*“) = 
Diese Funktion hat den Differentialquotienten: 
dy 
dx 
Fig. 69. 
21 3 
b 
2P 
(5) 
{ 
Sb 
b 
i-p 2x - 
2 P 
Sb 
p x ~ 
Sb 
2P 
\'ix 2 = 
3 bx 
2 P 
(21-x). 
Er gibt die Steigung der elastischen Linie an ihren verschiedenen Stellen an. 
Für x — 0 ist dy: dx = 0, d. h. in 0 hat die Tangente wagerechte Lage. 
Am Ende B, d. h. für x — l, ist der Differentialquotient gleich Sb: 21 oder 
b : -%l. Wenn wir von OA ein Drittel durch den Punkt C abschneiden, d. li. 
wenn CA = |l ist, hat die Gerade CB eben diese Steigung AB: CA = b:fl, 
da man ja beachten muß, daß die Richtung nach unten positiv ist, wegen der 
Wahl der positiven ¿/-Achse nach unten hin. Demnach muß diese Gerade CB 
die Tangente der elastischen Linie in B sein. Ferner sei P ein beliebiger 
Punkt der Kurve, also OQ - x, QP = y. Die Tangente von P treffe die x- 
Aclise in T. Ihre Steigung ist nach (5): 
QP 3 b