icke. 
agerecht in 
n hat (siehe 
rnachlässigt, 
chanik wird 
Metern und 
istante. Als 
¡jene Stab ge- 
stigungsstelle 
ach unten, 
lere Lage als 
der ¿/-Einheit, 
3n. Wie man 
tion dritten 
t die Strecke 
rd. Die Glei- 
nur dann an- 
inge 0 A oder 
aes deutlicher 
ewählt. 
i Stellen an. 
rechte Lage. 
3 b : 21 oder 
leiden, d. h. 
CA = b: §1, 
t, wegen der 
3 Gerade CB 
in beliebiger 
treffe die x- 
$ 7. Ganze Funktionen. 
101 
daher: 
TQ = 
QP 
2lx — X 2 
oder, da. QP = y den Wert (4) hat: 
TQ = 
Also kommt: 
x (31 — x) 
3(21 - x) 
OT= ÜQ - TQ = X - TQ = 
a? (3/ - 2x) 
8 (27 — x) 
Für x = i / z. B. (in Fig. 69 für P) ist y — b und OT — f^l, so daß 1 sehr 
nahe bei C liegt. Die Kurve wird durch die drei Punkte 0, P, B und ihre 
Tangenten in diesen Punkten praktisch genau genug bestimmt. Werte von x 
über / hinaus und negative Werte von x haben für die Aufgabe keine Bedeutung. 
2. Beispiel: Wird derselbe Stab nicht am Ende, sondern überall gleich 
mäßig belastet, so biegt er sich, wie ebenfalls in der Mechanik gezeigt wird, 
derart, daß die entstehende elastische Linie angenähert durch die ganze 
Funktion vierten Grades 
y = a(6Px- — 4 Ix 3 4- x 4 ) 
wiedergegeben wird. Dabei bedeutet wieder a eine vom Material und von der 
Belastung bedingte Konstante. Das Ende B ist um die Strecke y herab 
gebogen, die sich für x — l ergibt, also um 3«Z 4 . Diese Strecke sei mit b be 
zeichnet, so daß 3aT — b, also a = b: 37 l ist und daher 
y — ^ (6 P x* — 4 Ix'' + x 4 ) 
kommt. Die. Formel ist nur für kleine Werte von b:l statthaft, wie die 
Mechanik lehrt. Man berechne den Differentialquotienten und zeige, daß die 
Tangente in B von der Länge l jetzt ein Viertel abschneidet. 
3. Beispiel: Aus einem rechteckigen Stück Pappe von 8 cm Länge und 
5 cm Breite soll dadurch, daß man an den Ecken gleichgroße Quadrate 
ausschneidet und alsdann die Ränder umknickt, eine 
offene Schachtel hergestellt werden (siehe Fig. 70). Je 
nachdem man die Länge der Quadratseite, d. h. die Höhe 
der Schachtel, wählt, wird die Form und damit auch der 
Rauminhalt der Schachtel verschieden ausfallen. Der 
Rauminhalt (in ccm) ist also eine Funktion der Höhe 
(in cm). Diese Funktion soll untersucht werden. Die 
unabhängige Veränderliche x ist die Schachtelhöhe, die 
abhängige y der Rauminhalt. Die Grundfläche ist ein Rechteck von den 
Seitenlangen 8 — 2.r und 5 — 2a?. Also wird 
(6) y = (8 — 2x) (5 — 2x)x. 
Dies ist eine ganze Funktion dritten Grades. Ausmultiplizieren gibt: 
(7) y = 4a? s — 26a? 2 -f 40a?. 
Hieraus berechnet man den Differentialquotienten: 
dy 
dx 
m 
§ 
^ 8-2PC 
Ü 
oc 
V/B 
Fig. 70. 
(8) 
= 12 a; 2 — 52 a? -f- 40 . 
Die Schachtelhöhe ist höchstens halb so lang wie die kurze Rechteckseite, 
d. h. höchstens gleich 2! cm. In Betracht kommen also nur Werte von x zwischen