106 Drittes Kapitel: ‘Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke. 
4. Beispiel: ln einer Wand ist eine wagerechte Blechplatte eingelassen, 
so daß ein Rechteck vorsteht, dessen Breite von der Wand bis vorn 9 cm be 
trägt, während es 48 cm Länge hat. Schneidet man an den beiden freien 
Ecken kleine gleichgroße Quadrate aus und kippt man die Ränder nach oben 
um, so entsteht ein längs der Wand laufender offener Behälter. Wie hoch muß 
der Rand oder, was dasselbe ist, die Quadratseite gewählt werden, damit der 
Behälter einen möglichst großen Inhalt faßt? Diese Aufgabe erinnert an das 
3. Beispiel. Ist x die Quadratseite in Zentimetern, so ist der Inhalt y in Kubik 
zentimetern: 
y = (48 — 2x) (9 — x)x . 
Der Unterschied gegenüber der vorigen Aufgabe liegt, abgesehen von den ge 
änderten Zahlenwerten, darin, daß der zweite Faktor — x und nicht — 2x ent 
hält. Hier ist, wie man berechnen möge: 
dy = 6a; 2 - 132a; + 432 . 
• dx 
Die Quadratseite x kann höchstens gleich 9 gewählt werden. Denken wir uns y 
für die Werte von'x zwischen 0 und 9 berechnet und in ein Achsenkreuz ein 
getragen, so entsteht eine Kurve, die vom Nullpunkt ausgeht und die a;-Achse 
wieder an der Stelle x = 9 trifft, denn y ist gleich Null für x = 9. Dazwischen ist 
y überall positiv. Zu Anfang ist die Steigung gleich 432, an der Stelle x = 9 
gleich — 270, d. h. zuerst steigt die Kurve, nachher fällt sie. Sie muß deshalb 
einen Gipfel haben, d. h. zwischen x = 0 und *=9 hat y sicher irgend 
wo ein Maximum. Dies wird gesucht. An der gesuchten Stelle ist die Steigung 
gleich Null; also haben wir einen Wert von x zwischen 0 und 9 zu suchen, 
für den 
6a; 2 - 132a; + 432 = 0 
ist. Dies ist eine quadratische Gleichung für die Unbekannte (jetzt 
nicht Veränderliche) x. Um die Lösungen der Gleichung zu finden, verfahren 
wir so: Zuerst schaffen wir das konstante Glied auf die rechte Seite und dann 
dividieren wir beide Seiten mit 6. Es kommt: 
x 2 — 22x = — 72 . 
Jetzt ergänzen wir x 2 — 22x zum Quadrat, wie man sich ausdrückt, d. h. 
wir erinnern uns daran, daß (x — a) 2 = ar — 2ax + er ist, und sehen, daß die 
Gleichung links zwei Glieder x 2 — 2.11a; hat, die als Anfang dieses Quadrats 
gebraucht werden können. Offenbar müssen wir a = 11 nehmen, denn e3 ist 
dann (x — ll) 2 = x 2 — 22x + 121. Dieses vollständige Quadrat (a- — ll) 2 
wird in der Gleichung links stehen, wenn links noch der Summand 121 vor 
kommt. Den dürfen wir hinsetzen, sobald wir es auch rechts tun. Also 
schreiben wir zunächst: I 
oder: 
a; 2 - 22a; + 121 = - 72 + 121 
(x - ll) 2 = 7 2 . 
Ziehen wir nun die Quadratwurzeln aus, so folgt, daß entweder: 
oder: 
x — 11= 7 , 
also 
x = 18 
x - 11 = - 7 , 
also 
x = 4 
sein muß. Da x zwischen 0 und 9 liegt, ist nur x = 4 zu gebrauchen. Weil, 
wie gesagt, zwischen x = 0 und x — 9 sicher ein Maximum vorkommt, muß es