§ 1. Ganze Funktionen. 
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also für x = 4 eintreten. Man wird mithin 4 cm des Randes der Blecliplatte 
umknicken und erhält dadurch, wie man berechnen möge, einen Behälter von 
800 ccm Inhalt. Es ist nützlich, die Bildkurve der Funktion y von x = 0 bis 
x = 9 zur Übung zu konstruieren. Wir haben es nicht g^in, um zu zeigen, 
daß die nur gedachte Bildkurve für die Lösung der Aufgabe 
ausreicht. 
5. Beispiel: Unter allen oben offenen zylindrischen Gefäßen von der 
selben vorgeschriebenen Oberfläche (gleich Mantel plus Grundfläche) soll 
dasjenige herausgefunden werden, das den größten Inhalt hat. Wird der 
Radius des Grundkreises groß gewählt, so bleibt für den Mantel wenig Material 
übrig. Das Gefäß wird also sehr flach und wenig Inhalt haben. Wählt mau 
andererseits den Radius der Grundfläche klein, so bleibt zwar für den Mantel 
viel Material übrig, das Gefäß wird sehr hoch, röhrenförmig, hat aber wegen 
der geringen Dicke nur geringen Inhalt. Zwischen beiden Extremen wird die 
gewünschte Form liegen. Die gegebene Gesamtfläche des Mantels und Bodens 
betrage F qcm. Beliebig wählen können wir zunächst den Radius der Boden 
fläche, allerdings offenbar nicht über alle Grenzen groß. Wir setzen ihn 
gleich x cm. Wie groß ist dann der Inhalt y? Die Grundfläche ist •six* qcm 
groß; also bleiben für den Mantel (F — ,rx-) qcm übrig. Der Mantel wird aus 
einandergebreitet ein Rechteck, dessen Grundlinie gleich dem Umfange 2 ix 
des Bodens ist. Daher ist die Höhe h gleich der zur Verfügung stehenden 
Fläche F — ex 2 , dividiert mit 2:ix, d. h. 
Da der Rauminhalt gleich Grundfläche acc 2 mal Höhe h ist, hat er, ausgedrüekt 
in Kubikzentimetern, den Wert 
, F — .ix n - 
IX . —-—-— 
oder: 
y = £ Fx — ^ a x. 
Hier ist: 
Dies ist gleich Kuli für 
-\F, also x- = „ 
da 
d. h. für 
/ V 
Natürlich muß die Wurzel positiv gewählt werden. Wir sahen schon, daß 
ein Maximum von y vorhanden sein muß. Da sich andererseits nur dieser eine 
Wert von x ergibt, für den y überhaupt ein Maximum haben kann, tritt 
sicher für diesen Wert von x das Maximum ein. Alsdann ergibt sich als 
Gefäßhöhe: 
F - a 
F 
h = 
]/ 
/JL 
3 a