108 Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke. 
Dies ist derselbe Wert wie der von x. Also sehen wir: Das Gefäß wird 
den größten Inhalt haben, wenn seine Höhe gleich dem Radius 
des Grundkreises ist. 
6. Beispiel: Man behandle ebenso die Aufgabe: Unter allen oben ge 
schlossenen zylindrischen Gefäßen von derselben vorgeschriebenen Ober 
fläche (gleich Mantel plus Bodenfläche plus Deckelfläche) soll dasjenige 
herausgefunden werden, das den größten Inhalt hat. 
7. Beispiel: Wie stellen sich die Lösungen der beiden letzten Aufgaben 
dar, wenn man annimrat, daß das Stück, das beim Herausschneiden der kreis 
förmigen Bodenfläche (bzw. des Deckels) von dem umschriebenen 
Quadrat übrig bleibt (siehe Fig. 74), als Abfall nicht benutzt 
wird? Wir wollen dies nur für den Fall des offenen Gefäßes 
kurz andeuten. Ist x der Radius, so wird durch die Her 
stellung der Grundfläche nicht Trjß, sondern 4 xf die Quadrat 
fläche, verbraucht. Also bleibt für den Mantel nur F— 4U 
Fig. 74. übrig, so daß die Höhe gleich (F — 4.r): 2jj: ist, usw. 
Wie wir sahen, ist jede ganze Funktion 
y — a a , x n 1 4 ... 4 a 0 x 2 - 1 - a. x 4- 
J n ‘ U—1 1 1 l ' 1 
stetig, d. h. zu jeder unendlich kleinen Änderung von x gehört eine 
unendlich kleine Änderung von y und zwar, wie man auch x 
wählen mag. Diese ganze Funktion wird daher durch eine Kurve 
dargestellt, die für keinen endlichen positiven oder negativen W r ert 
von x eine Unstetigkeit hat. Wird nun x sehr groß, so gilt 
dasselbe von y. Denn wir können schreiben: 
y — x n 
Wird x sehr groß, so werden alle Glieder der Summe in der Klammer, 
abgesehen vom ersten, a n , sehr klein. Also folgt: Ist der ab 
solute Betrag von x sehr groß, so kommt von der Funktion fast 
nur das erste Glied a n x 11 in Betracht. Es gibt insbesondere allein 
den Ausschlag für den Verlauf der Kurve, sobald x nach 4 00 
oder — 00 strebt, in welchen Fällen auch y unendlich groß wird. 
Das Vorzeichen von y ist dabei dasselbe wie das von a n x n . Ist 
n gerade, so ist x n positiv, so daß dann das Vorzeichen von a n 
allein den Ausschlag gibt. Daher sind die verschiedenen Fälle 
möglich: 
n 
r '» ! 
1) gerade 
positiv 
X= + -jC 
!J = + cc 
X = - OC 
y = -T <* 
2) gerade 
negativ 
X = + SO 
y =- x 
X = — SL 
y = - x 
3) ungerade 
positiv 
X = + / 
y = + x 
x = — x 
y =-°° 
4) ungerade 
negativ 
x — 4- oc 
y = - x 
x = - X 
y — + 00