§ 1. Ganze Funktionen. 
wählt, alsdann die zweite, wenn man 
K-3 = a n-z + hb n-2 
annimmt usw., schließlich die drittletzte, wenn man 
\ = a 2 + ^2 » 
die vorletzte, wenn man 
— a i + ^1 1 
und endlich die letzte, wenn man 
r = «o + hb o 
wählt. Mithin gilt der Satz 28 stets, d. h. auch für # = A. 
Jetzt wollen wir annehmen, die Konstante h sei so gewählt, daß 
die Funktion ?/ oder f n [x) für x = h den Wert Null annimmt, mit 
anderen Worten, daß h eine Lösung der Gleichung w teD Grades 
a n x n + a n _ l x n ~ l + . . . + a 2 x 2 + a l x + a 0 = 0 
sei. Wir können dies so ausdrücken: Wir nehmen an, daß f n (h) = 0 
sei, denn f n {h) bedeutet die Funktion f n [x), wenn darin x = h 
gesetzt wird. Nun gibt aber die Gleichung des Satzes 28 für 
x = h: i 
/«( Ä ) = fn-1 (ä) • 0 + r 
Da die linke Seite nach Voraussetzung gleich Null ist, folgt hier 
aus r — 0. Mithin ist der bei der Division der^ ganzen Funktion 
mit x — h hervorgehende Rest gleich Null, mit anderen Worten: 
Die Division geht auf. Dieser Fall lag im 8. Beispiel vor, wo 
h = 2 war. 
Jetzt wollen wir eine andere Voraussetzung machen: Wir 
wollen annehmen, die Division der ganzen Funktion mit x — h gehe 
auf, d. h. der Rest r sei gleich Null. In diesem Fall gibt die 
Gleichung des Satzes 28: 
(13) 
Setzen wir hierin x = h, so kommt rechts Null. Also wird auch 
f n (h) = 0, was besagt, daß x = h eine Lösung der Gleichung 
rc ten Grades f n (x) = 0 ist. Folglich gilt der 
Satz 29: Dann und nur dann, wenn h eine Lösung der 
Gleichung w ten Grades 
a n x n -f a n _ x x n ~ 1 + ... 4- a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 
ist, geht die Partialdivision der ganzen Funktion w ten Grades 
y = a n x n + a n _ x x n ~ 1 -f ... + a 9 x 2 + a x x -f a (j 
mit x — h auf. 
Scheffers, Mathematik. 4. Aufi. 
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