114 Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke. 
Die Formel (13) zeigt, daß in diesem Fall die ganze Funktion 
rc ten Grades in das Produkt einer ganzen Funktion (n—l) ten Grades 
mit x — h zerlegt werden kann. Natürlich läßt sich die Partial 
division mit x — h und infolgedessen auch diese Zerlegung nur dann 
wirklich zahlenmäßig ausführen, wenn die Lösung h bekannt ist. 
Aber, ob h schon bekannt ist oder noch gesucht wird, jedenfalls 
haben wir den wichtigen 
Satz 30: Dann und nur dann, wenn h ein Zahlenwert 
von x ist, für den die ganze Funktion w ten Grades 
/» = a n x n + x n ~ l + ... +a 2 x 2 + * + a 0 
den Wert Null hat, ist f n [x) das Produkt aus einer gewissen 
ganzen Funktion (u— l) ten Grades f n _ x (x) und aus x — h: 
f n (x) = /;_ 1 (.r).(x —A). 
und zwar für alle Werte der Veränderlichen x. 
Die Aufgabe, eine Lösung h einer Gleichung w tfn Grades f n [x) = 0 
zu finden, deckt sich also mit der Aufgabe, einen in der Funktion 
f n [x) enthaltenen Faktor x — h zu finden. 
Hiermit haben wir die Aufgabe, die Lösungen einer Gleichung 
w ten Grades zu finden, nicht erledigt, sondern nur auf eine andere 
Form 4 e ^ rac ^L die sich später öfters als nützlich erweisen' wird. 
§ 2. Über die Auflösung von Gleichungen. 
Es liege wieder eine Gleichung rt ten Grades vor: 
(1) a n x n + a n _ x x n ~ 1 + ... + o 2 x~ + a x x + « 0 = 0 , 
wo also a n , a nl ...a 2 , a x , a 0 gegebene Konstanten bedeuten sollen. 
Die Größe x wird infolge dieser Bedingung nur gewisse Zahlen 
werte haben können, die uns jedoch noch unbekannt sind. Wir 
möchten sie bestimmen. 
Leicht kann man mit irgend einer Zahl die Probe machen, ob 
sie eine Lösung der Gleichung (1) ist oder nicht. Erfüllt sie, in (1) 
für x eingesetzt, die Forderung, so ist man in der Tat gerade auf 
eine Lösung der Gleichung (1) gestoßen. Das wird aber ein ganz be 
sonderer Zufall sein. Im allgemeinen wird, wenn man für x irgend 
eine Zahl set/.t, der Ausdruck, der in (1) links steht, nicht 
gleich Null sein, vielmehr einen von Null verschiedenen Wert y 
haben, der von dem gewählten Wert von x abhängt: 
(2) y = a n x n + a n _ x x n ~ l + ... + a 2 x 2 + a x x + a 0 . 
Dies y ist also eine ganze Funktion n tea Grades von x. Weil 
sie nach Satz 24, S. 99, stetig ist, folgt: Wenn wir für x eine