§ 2. Uber die Auflösung der Qieichungen. 
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Da der wahre Wert zwischen 21,544346 und 21,544347 liegt, ist dies Ergebnis 
mindestens bis auf sechs Dezimalstellen genau, und es ist sehr wahrscheinlich, 
daß auch die siebente stimmt. 
Bei der Anwendung des Verfahrens muß man nicht unnötig 
genau rechnen. Wir haben die Fehler y immer nur auf wenige 
Dezimalstellen berechnet, nämlich nur so weit, bis man deutlich 
das ungefähre Verhältnis der beiden Fehler y x und y 2 erkennt, 
denn augenscheinlich kommt es bei der Anwendung der Fehlerregel 
nur auf das Verhältnis von y x zu y 2 an. In der Tat läßt sich ja 
die Formel (4) so schreiben: 
x« — x. 
i 
Vi 
worin y x und y 2 nur in ihrem Verhältnis y 2 :y 1 auftreten. Die 
beim Rechnen nötige Voraussicht erlangt man besser durch Übung 
als durch lehrhafte Auseinandersetzungen. 
Wir wenden uns zu einem zweiten Verfahren, die Lösungen 
einer vorgelegten Gleichung annähernd zu bestimmen. 
Bei der Fehlerregel besteht das Wesen des Verfahrens darin, 
daß wir ein Stück P X P 2 der Fehlerkurve durch eine Gerade ersetzen 
und dadurch eine Stelle Q finden, die im Intervall 
zwischen x x und x 2 liegt und einen besseren Nähe 
rungswert gibt, als es einer der beiden Werte x x 
und x 2 ist. Das zweite Verfahren macht nur von 
einer schon bekannten Stelle P der Fehlerkurve 
Gebrauch. Ist für diese Stelle, deren Abszisse x 
und deren Ordinate y sei, die Ordinate nahezu gleich 
Null, d. h. liegt die Stelle vermutlich nahe bei 
einer Schnittstelle S der Fehlerkurve mit der Abszissenachse (siehe 
Fig. 81), so können wir das Kurvenstück SP, von dem S noch nicht 
bekannt ist, angenähert durch die Tangente von P ersetzen. Sie 
trifft die ^-Achse an einer Stelle T, die der gesuchten Stelle S ver 
mutlich näher liegt. Die Abszisse von T gibt somit einen neuen 
und wahrscheinlich besseren Näherungswert, als es die Abszisse 
von P war. Ist x die Abszisse von T, so ist die Steigung der Tan 
gente gleich y.[x — x), welches auch die Vorzeichen von x, y, x' 
sein mögen. Sie ist andererseits gleich dem Wert des Differential 
quotienten dy : dx für P. Diesen Wert können wir nach (3) auf 
S. 115 berechnen. Dann kommt: 
Fig. 81. 
x — x! 
dy 
dx