122 Drittes Kapitel: Das Differenzieren algebraischer Ausdrücke 
Die Gleichung (4) auf S. 117 liefert demnach den Näherungswert: 
8 + 
274, 5 
293 
8,94 . 
Für dies x ist y — — 0,8. Also erfüllt dieser Wert tatsächlich die Forderung. 
Aber es wäre wohl denkbar, daß es auch für benachbarte Werte von x ein- 
trifft. Für x = 8,93 kommt y = 2,2, und für x = 8,95 kommt y = — 3,8. Dieser 
Wert ist seinem absoluten Betrage nach größer als 2,5, also zu groß. Auch 
x = 8,92 ist unbrauchbar, da dann y = 5,2 wird. Unser Ergebnis ist also: 
Von der Kugel ragt ein Stück in der Höhe von 8,93 cm bis zu 8,94 cm über 
der Oberfläche des Quecksilbers heraus. Genauer können wir nicht 
rechnen, wenn nicht für die spezifischen Gewichte genauere Zahlen gegeben 
werden. Das Näherungsverfahren reicht also vollkommen aus: 
Verweilen wir noch ein wenig bei diesem Beispiel. Die physikalische 
Aufgabe hat nur eine Lösung, aber die Gleichung 
x z - 30a; 2 + 1682,5 = 0 
hat ihrer mehr. Wir werden sehen, daß sie noch zwei Lösungen hat, von 
denen aber keine, wie es die physikalische Aufgabe verlangt, zwischen 0 und 
20 liegt. Um einige Einzelheiten über die Auflösung von Gleichungen klar 
zu machen, wollen wir diese beiden Lösungen noch bestimmen. Wir können 
so Vorgehen: Wenn die Gleichung die Lösung 8,94 hätte, müßte ihre linke Seite 
nach Satz 29, S. 113, den Faktor x — 8,94 haben. Diesen Faktor könnten wir 
durch Partialdivision entfernen. Da jedoch 8,94 bloß ein Näherungswert der 
Lösung ist, können wir nur erwarten, daß die Partialdivision beinahe auf 
geht. In der Tat kommt: 
(o; 3 - 30 ic 2 . + 1682,5)' (x - 8,94) = x- - 21,06 a; - 188,27 
a; 3 — 8,94 a; 2 
- 21,06a; 2 
- 21,06a; 2 + 188,27 a; 
- 188,27a; + 1682,5 
- 188,27 a; + 1683^1 
- 0,6 
Es bleibt also der Rest — 0,6, den wir vernachlässigen. Jetzt handelt es sich 
nur noch um die Auflösung der quadratischen Gleichung: 
a; 2 - 21,06 a; = 188,27 . 
Wir addieren beiderseits das Quadrat von i . 21,06, wodurch hervorgeht: 
(* - 10,53) 2 = 188,27 + 10,53 2 = 299,16 . 
Ausziehen der Quadratwurzel gibt: 
x - 10,53 = ± 17,3 , 
also x = 27,8 oder x = — 6,8. Aber wir werden nicht erwarten, daß diese 
Lösungen der vorgelegten Gleichung dritten Grades genügend genau sind. In 
der Tat, wepn wir die Fehler 
y = a; 3 - 30a; 2 + 1682,5 
berechnen, finden wir ihre absoluten Beträge größer als 2,5, was nicht sein 
darf. Aber in der Nähe der gefundenen Werte werden die beiden Lösungen 
liegen. Wir rechnen daher so: