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Elftes Kapitel: Auswertung von Integralen. 
(2) 
dF 
d cp 
= i r2 , d- F = \Jr 2 d<p , 
wo 7’ die durch (1) gegebene Funktion von cp ist. Die Fläche wird 
positiv gerechnet, wenn die Amplitude von a bis zum Endwert cp zu 
nimmt. Die Formel dF = ±r 2 dcp besagt, daß die unendlich kleine 
Fläche OFF' durch den Kreissektor OPQ ersetzt werden darf, 
ähnlich wie auf S. 229 durch ein Rechteck. Die Kurve wird also 
durch eine Treppe ersetzt, deren Stufen aus unendlich kurzen 
Kreisbogen und unendlich kurzen Stücken der Radienvektoren ge 
bildet werden. 
1. Beispiel: Bei der logarithmischen Spirale r 
ist nach (2): 
<p <p 
a e c<p , vgl, S. 355 u. f., 
F =iJa 2 e 2c(p dcp= f j e 2ccp dcp 
Macht man die Substitution 2ccp — x, wobei dcp = dx:2c wird und die 
Grenzen durch 2ca und 2c(p zu ersetzen sind, so kommt: 
2 c(p 
a /9m 2 ca\ 
F 
- PL f 
4c / 
er dx — " {e 2c<p — e~ 
4c 
2 ca 
Bedeutet t den konstanten Winkel in Fig. 239, S. 356, so ist tg t = 1 : c. Sind 
r 0 und r x der Anfangs- und Endradiusvektor, so wird F = — r 0 2 )tgt. 
Legt ein Mobil in der Zeit t den Weg s zurück, so daß ds:dt 
seine augenblickliche Geschwindigkeit v ist, so ist seine durch 
schnittliche oder mittlere Geschwindigkeit im Intervall 
von t 0 bis nach S. 265 gleich dem in diesem Zeitabschnitt zurück 
gelegten Weg s x — s 0 , dividiert mit der dazu gebrauchten Zeit 
t 1 — ¿ 0 . Aber der Begriff dieses Mittelwertes hängt nach S. 252 
wesentlich davon ab, daß die Zeit als unabhängige Veränderliche 
gewählt wird. Nimmt man dagegen den Weg als unabhängige Ver 
änderliche, so hat man sich vorzustellen, der Weg sei in unendlich 
kleine gleichlange Teile zerlegt, und es werde das Mittel aus den 
Geschwindigkeiten in den Teilpunkten gesucht. Dann ergibt sich 
nach Satz 52, S. 251, der Wert: 
(3) 
ö i 
—-L 
S 1 s o J 
ds oder 
°l 
— f V 
h - So J 
2 dt. 
Denn wenn man die Zeit t als neue Veränderliche einführt, muß 
man wegen v — ds: dt das Differential ds durch vdt ersetzen.