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Elftes Kapitel: Auswertung von Integralen. 
(2) 
v (») = k(x — hf) (» - h 2 ) ...(»- AJ . 
wird zur Bildkurve von (28), wenn man die Einheiten passend wählt, nämlich 
die dort benutzte »-Einheit jetzt gleich h neuen »-Einheiten und die dort benutzte 
«/-Einheit jetzt gleich ]/n:h neuen «/-Einheiten annimmt. Man sieht, daß die 
11 Punkte der Figur 895 auf S. 601 schon mit sehr großer Annäherung auf 
der Kurve der Fig. 352 auf S. 489 liegen. Dies wurde dadurch erreicht, daß 
wir h — 1, ferner entsprechend (21) für m = 5 außerdem Ä 2 = l:4m = l:20 an- 
nahmen und die Maximalordinate, nämlich «/ 0 , in Fig. 395 gerade so lang wie 
in Fig. 352 wählten. 
§ 3. Besondere Integrationsverfahren. 
Zunächst besprechen wir die Integrale gebrochener Funk 
tionen. Nach Satz 33, S. 140, kann man eine gebrochene Funk 
tion von x immer auf die Form 
bringen, wo u{x\ v{x) und w(x) ganze Funktionen sind, ferner der 
Bruch nicht weiter zu kürzen ist und außerdem der Zähler u(x) 
einen geringeren Grad als der Nenner v[x) hat. Das Integral 
der ganzen Funktion w?(») läßt sich nach dem 6. Beispiel, S. 575, 
ermitteln. Es handelt sich also noch um Integrale von der Form: 
(1) 
Dabei nehmen wir an, v (») sei eine ganze Funktion vom n tm Grade, 
also u{x) eine ganze Funktion von niedrigerem als n ten Grade, und 
u(x) soll mit v[x) keinen linearen Faktor x — h gemein haben. 
Das Integrationsverfahren beruht auf einer Zerlegung des In f 
granden in eine Summe von Teilbrüchen, und diese Zerlegung 
wiederum beruht auf einer Zerlegung des Nenners ?;(») in ein 
Produkt von linearen Faktoren. Die ganze Funktion v[x) nämlich 
hat nach Satz 29, S. 113, den Faktor x — h v wenn h 1 eine Lösung 
der Gleichung n ten Grades u(») = 0 ist. Da aber jede Gleichung 
n ten Grades wenigstens eine Lösung hat — man vergleiche den letzten 
Absatz in § 2 des 3. Kap., S. 134 —, ist v[x) das Produkt aus einem 
Faktor x — h x und einer ganzen Funktion vom [n — l) ten Grade. 
Für diese ganze Funktion [n — l) ten Grades können wir denselben 
Schluß machen: Sie ist zerlegbar in das Produkt aus einem Faktor 
x — h 2 und einer ganzen Funktion (n — 2) ten Grades, usw. Schließ 
lich bleibt eine ganze Funktion nullten Grades, d. h. eine Kon 
stante k, übrig. Jede ganze Funktion w teu Grades v(x) ist 
also ein Produkt von der Form: