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Elftes Kapitel: Auswertung von Integralen. 
also, weil er von niedrigerem Grade ist, eine von Null verschiedene 
Konstante verbleibt. Das Ergebnis ist somit eine Zerlegung des 
Integranden u(x): v(x) in eine Summe von der Form (3). Wesent 
lich war beim Beweis, daß h v h 2 ... h n voneinander ver 
schieden sind. Sonst nämlich, wenn z. B. h x einer der Größen 
A 2 ... A n gleich wäre, hätte die vorhin benutzte Konstante 
c x = u (h x ): (p (Aj) den Nenner Null, weil cp (AJ = k (h x — h 2 ) ... (h x — AJ 
gleich Null ist, wenn eine der Zahlen A 2 . . . A n mit h x überein 
stimmt. 
Hat man die Zerlegung (3) des Integranden wirklich ausgefiihrt, 
d. h. die Konstanten c v c 2 ... c n berechnet, so läßt sich die Inte 
gration sofort leisten: 
= c x ln (x — A^ + c 2 ln [x — A 2 ) -f . . . + c n ln (x — AJ -f- konst. 
Das Verfahren zur Berechnung der Konstanten c x , c 2 , ... c n läßt 
sich einfacher gestalten. Dies werde durch Beispiele erläutert: 
1. Beispiel: Soll * 
Lösungen der kubischen Gleichung a; 3 — 4 x 2 — x + 4 = 0 zu berechnen. Dies 
kann nach dem 9. Beispiel, S. 473 u. f., geschehen. Man findet aber leicht 
durch Versuche mit ganzzahligen Werten, daß x— 1 eine Lösung ist. Da 
x 3 — 4 x 2 — x + 4, mit x — 1 dividiert (vgl. S. 135), x 2 — 3 x — 4 gibt, sind 
die beiden anderen Lösungen die der quadratischen Gleichung x 2 — 3 x — 4 = 0, 
also gleich 4 und — 1. Somit ist: 
x 3 —^• 4 x 2 — x + 4 = (x — 1) (x — 4) (x + 1). 
Nun setzt man nach (3) an: 
4 x* — x — 
{x — 1) (x — 4) (x + 1) 
x — 4 
Es steht fest, daß es drei Konstanten c x , e 2 , c 3 derart gibt, daß diese Glei 
chung für jeden Wert von x richtig ist, und deshalb gestaltet sich die 
Berechnung der Konstanten sehr einfach, wenn man so verfährt: 
Man multipliziert, um c x zu berechnen, die Gleichung zunächst mi§ dem bei c t 
stehenden Nenner x — 1: 
und setzt nun für x die erste Lösung 1 ein, denn auch dann muß die Glei 
chung richtig bleiben. Der Vorteil ist hierbei, daß rechts nur c x stehen bleibt, 
weil x — 1 gleich Null wird, so daß man unmittelbar 2 = e x abliest. Um c 2 
zu finden, multipliziert man dagegen (7) mit x — 4 und setzt dann x = 4.