§ 3. Besondere Integrationsverfahren. 
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So ergibt sich ebenso schnell c 2 = 3. Um e s zu finden, multipliziert man (7) 
mit x + 1 und setzt dann x — — 1. Dann kommt sofort e« = — 1. Dem- 
. 8 
nach ist: 
4x 2 — x — 15 
2 
x — 1 
1 
x + 1 
x 3 — 4 x 2 — x + 4 
Integration gibt: 
dx — 2 ln (x — 1) + 3ln (a: — 4) — ln (* + 1)4- konst. 
2. Beispiel: Um 
zu berechnen, wo a, ß } a, b, e Konstanten seien, muß man die quadratische 
Gleichung ax 2 + bx + e = 0 auflösen. Sie hat nach (9), S. 132, die Lösungen 
Deshalb ist die Funktion ax 2 4- bx + c gleich a(x — hf)(x — hf). Nun setzt 
man nach (3) an: 
ax 4- ß 
C l_ | C 2 
x — h t x — hi 
a{x — hf) {x — h 2 ) 
Nach dem im vorigen Beispiel angegebenen Verfahren findet man und c 2 , 
indem man mit x — h x bzw. x — h 2 multipliziert und dann x = h t bzw. = h 2 
wählt. Es kommt: 
— a ^h + ß 
1 ~ a (h t - h 2 ) ’ 
ah 2 + ß 
a (h 2 - hf) 
oder nach (8): 
(10) 
2 ßa — ab 
2a ]/i 2 — 4ac 
Die Integration von (9) gibt: 
^——— dx — c, ln (x — h.) + c, ln (x — h 2 ) + konst. 
a(x - hf) {x - h 2 ) 1 - 
Wegen (8) ist ln (x — hf) = ln (2ax + b — ]/b 2 — 4a e) — ln 2a. Das Glied ln 2a 
kann, da es konstant ist, zur Integrationskonstante geschlagen werden. Ent 
sprechendes gilt bei ln(x - h 2 ). Das Ergebnis ist also mit Rücksicht auf (10): 
ß 
ax -f 
ax 2 + bx + c 
(11> 
Diese Formel ist jedoch nur d^nn brauchbar, wenn zjr h 2 , d. h. b 2 — 4aehp0 
ist. Außerdem wird sie unbrauchbar, wenn die Quadratwurzel imaginär, d. h. 
& 2 — 4ac < 0 ist. Die Formel (11) gilt also nur für b 2 — 4ae > 0. Was 
sich in den anderen Fällen ergibt, werden wir im 3. und 4. Beispiel sehen.