§ 3. Besondere Integrationsverfahren. 
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Schekfeks, Mathematik. 4. Aufl. 
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(.v — p — iq) (x — p + iq) oder (x — hf) (x — h 2 ), der gleich (x — p) 2 + q 2 
und also reell ist. Wir finden so: 
c t c 2 _ 2x (x — p) — 2lq 
x — \ x — h 2 ~ (x — pf + cf 
Dieser Ausdruck ist reell. Beim Integrieren von (12) geben mithin 
die beiden ersten Glieder rechts zusammen das reelle Integral: 
/■ 
2x{x-p)~ 2\g , 
- pf + q 2 
Zur Auswertung substituiert man z = [x— p):q als neue Veränder 
liche. Dadurch geht das Integral über in: 
f 8 **, ■ a / dz = = 
J X 2 + 1 J X 2 + 1 J X 2 + 1 \ I J 
— 2 X arc tg z -f konst. 
Führt man wieder x ein, so kommt: 
(13) 
/+ = * ln K* - rf + ? 2 ] 
— 21 arc tg 
X — p 
+ konst., 
da der unter dem Logarithmuszeichen zunächst noch auftretende 
Nenner q 2 zu einem Glied — x\nq 2 führt, das konstant ist und 
deshalb zur Integrationskonstante geschlagen werden kann. 
Somit hat sich gezeigt: Ist eine der Größen h imaginär, 
so ist eine andere Größe h zu ihr konjugiert imaginär. 
Die Vereinigung der beiden zugehörigen Glieder der Teil 
bruch-Zerlegung von u(x):v[x) führt zu einem reellen Glied, 
das sich nach (13) integrieren läßt. 
3. Beispiel: Wir betrachten wie im 2. Beispiel das Integral 
u x + ß 
a x 2 + b x + c 
dx, 
nehmen aber jetzt an, daß b 2 — 4 a c < 0 sei, so daß die beiden Größen h lf h 2 
in (8) konjugiert imaginär sind von der Form p ±iq. Dabei ist: 
p= - 
2a' 
q = 
)/4 ae — b 2 
2 a 
Der Nenner ax ä + bx + e wird gleich a [{x — pf + q 2 ]. Vergleichung zeigt, daß 
das vorgelegte Integral mit (13) übereinstimmt, wenn 
2 x = 
-2x0-22? = — 
a