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Elftes Kapitel: Auswertung von Integralen. 
gesetzt wird, so daß 
a 
ab — 2ß a 
2 aj/iac — V 1 
ist. Daher liefert (13): 
(14)‘ 
+ konst. 
Diese Formel ist statt (11) anzuwenden, wenn 6 2 — 4ac < 0 ist. 
Das Integrationsverfahren gilt, wie gesagt, nur dann, wenn 
h lf h 2 ...h n sämtlich voneinander verschieden sind. Nun kann es 
aber Vorkommen, daß h x anderen Größen h gleich ist, d. b. daß 
v (x) den Faktor x — h x nicht nur einmal, sondern mehrfach enthält. 
Wir nehmen daher jetzt an, v{x) enthalte den Fak 
tor x — h x mehr als einmal, also etwa rmal. Dann gilt eine 
andere Zerlegung als die in (3) angegebene. Wir finden sie so: 
Die Division von v (x) mit {x — hff möge cp (x) ergeben. Dies ist 
eine ganze Funktion vom nur noch [n — ?-) ten Grade. Sie enthält 
den Faktor x — h x nicht mehr, d. h. es ist gp (/¿ 1 ) 0. Verstehen 
wir unter y r die Konstante 
u (hf) 
7r (piK) ’ 
so ist u (x) — y cp (x) eine ganze Funktion vom höchstens (n - l) ten 
Grad, die für x = h x gleich Null, d. h. nach Satz 30, S. 114, mit 
x — /¿ x teilbar ist. Gibt die Division mit x — h x die ganze Funk 
tion u x [x\ so ist u x [x] vom höchsten (w — 2) ten Grad und u[x)—y r cp{x) 
gleich (x — h x ) u x (x), d. h. 
u (x) = y r cp (x) + {x — hfj u x (x). 
Wegen v(x) = (x — hff cp(x) wird somit: 
)'r , % (X) 
(* “ IhY ix - //if -1 <jP ix) 
U (X) u (x) 
v (x) (x — h) T cp (x) 
Den zweiten Bruch rechts können wir geradeso behandeln wie 
u{x):v(x). An die Stelle von r tritt dabei r— 1. Fahren wir so Schritt 
für Schritt fort, so kommt schließlich, wenn alle Potenzen (x — hff, 
(x — A 1 ) r ~ 1 , ... x — h x aufgebraucht sind: