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Elftes Kapitel: Auswertung von Integralen. 
von h x und /¿2 in —b:2a zusammen, und nach (16) läßt sich der Integrand, 
dessen Nenner a x 2 + b x -f c jetzt gleich a{x 4- b : 2a) 2 ist, so zerlegen: 
a x + ß _ c 2 t c t 
a (x + b : 2 af (x b : 2 a) 2 1 x + b :2a 
Multiplikation der Gleichung mit (x + 6:2a) 2 liefert: 
b 
— x + — 
a a 
Koeffizientenvergleichung gibt: 
e 2 + c x 
2a 
c 2 + C-y x + C x 
d. h. 
2 a 
2 a 8 — ab 
2 a 2 
Integration gibt weiterhin: 
I 
ax 4- ß 
oder also 
(18) 
ax 2 + b x + c 
a x + ß 
dx = 
r f c x ln [x + ~— 
x + b : 2 a l 2a 
+ konst. 
, 2 a ß — ab a . , 7 , , . 
„ , d x = 7n~ rr -1 ln (2 ax + b) + konst. 
a x 2 + b x + c a (2 a x + b) a 
Diese Formel gilt also, wenn b 2 — 4ac = 0 ist. 
5. Beispiel: Liegt 
x 2 — 8 x — 4 
/ 
dx 
x 2 (x + 2) 
vor, so ist h x = 0 eine Doppellösung und h* = — 2 eine einfache Lösung der 
Gleichung x 2 (x + 2) = 0. Demnach gilt eine Zerlegung von der Form: 
s 2 - 8s - 4 = r±_ , , G , 
x 2 (x + 2) x 2 ' x a; + 2 
wo Yi un( l c Konstanten sind. Multiplizieren wir mit x 2 .und setzen wir 
dann x = 0, so geht y 2 = — 2 hervor. Bringen wir nun das Glied y 2 : x 2 oder 
— 2 : x 2 links hin und vereinigen es mit der linken Seite zu einem Bruch, so 
hebt sich links x einmal im Zähler und Nenner fort, und es bleibt: 
« - 6 = II 
x(x + 2) 
+ 
x x + 2 ’ 
woraus sich sofort durch Multiplikation mit x bzw. x + 2 und Einsetzen von 
x 0 bzw. x = — 2 ergibt: y x = — 3, c — 4. Also ist dies die Zerlegung: 
x 2 — Sx — 4: 2 3 4 
x 2 {x -I- 2) 
_8_ ^ 
x 2 x ‘ x + 2 ’ 
woraus folgt: 
X 8 X 4 dx — —— 3 ln x + 4 ln (x + 2) 4- konst. 
x 
J x 2 (x + 2) 
6. Beispiel: Um 
dx 
(x 2 + l) 2