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§ 3. Besondere Integrationsverfahren. 
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zu berechnen, bemerken wir, daß x 2 + 1 gleich (x — i) {x + i), also 
(:x 2 + l) 2 = (x — i) 2 (x + i) 2 
ist. Die Zerlegung ist demnach so: 
1 
(x — i) 2 {x + *) 2 
, fi , , C 1 
(x — i) 2 x — i (x + i) 2 x + i ’ 
wo y» y lt c 2 und £? t konstant sind. Multiplikation mit (x T i) 2 und Einsetzen 
von x = ± i gibt y 2 = — -J-, c 2 = — Bringen wir nun die Glieder y 2 :{x — i) 2 
und c t :{x + i) 2 links hin und vereinigen wir sie mit dem linken Bruch zu 
einem Bruch, so hebt sich x — i und x + i einmal im Zähler und Nenner 
fort, und es bleibt: 
1 = fi 
2 (x — i) {x + i) x — i 
x + i 
Wir brauchen nun aber und c 1 gar nicht zu berechnen, da wir die zugehörigen 
Glieder vor der Integration vereinigen müssen; sie sind zusammen gleich 
1: 2 (x 2 + 1), wie die linke Seite lehrt. Die Zerlegung ist also: 
1 1_ 1 1_ 1 1 
(x 2 + l) 2 4 (x — i) 2 4 (x + z) 2 2 {x 2 + 1) 
Die Integration liefert zunächst: 
dx 
{x 2 + l) 2 
7 
l 
x + i 
+ \ arc tg x + konst. 
Die beiden ersten Summanden rechts verlieren das Imaginäre, wenn wir sie zu 
einem Bruch vereinigen. So kommt schließlich: 
/ dx x , 
“ YWTT) + fr" 0 ** + konst - 
Nach allem diesen sehen wir: Wir können eine gebrochene 
Funktion integrieren, sobald wir diejenigen Werte der 
Veränderlichen auffinden können, für die der Nenner der 
gebrochenen Funktion gleich Null ist. 
7. Beispiel: Bei einer chemischen Reaktion mögen sich von zwei 
Stoffen, die A und B Gramm betragen, je a Gramm des einen mit b Gramm 
des andern verbinden. In t Sekunden mögen sich x Gramm der Verbindung 
bilden, wozu offenbar ax\{a + b) und bx:(a + b) Gramm der einzelnen Stoffe 
verbraucht werden, so daß zur Zeit t noch 
ax bx 
A — - und B z- 
a + b a + b 
Gramm von beiden Stoffen vorhanden sind. Geschieht die Reaktion so, daß beide 
Stoffe in völlige. Berührung miteinander kommen, ohne beträchtliche Wärme 
zu entwickeln, so dürfen wir annehmen: Die Stoffmenge dx der Verbindung, 
die sieh im Zeitteilchen dt bildet, ist proportional zu der dazu nötigen Zeit dt 
und zu den beiden noch vorhandenen Stoffmengen (vgl. 7. Beispiel, S. 302): 
ax A 
a + b J 
bx \ 
a + b ) 
d t, 
dx = k ( A —