§ 3. Besondere Integrationsverfahren. 
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Enthält der Integrand außer ganzzahligen Potenzen von ® noch 
Wurzeln von x, so führt man als neue Veränderliche eine solche 
gebrochene Potenz von x ein, von der alle vorkommenden Wurzeln 
ganzzahlige Potenzen sind. Kommt z. B. die Quadratwurzel und 
die dritte Wurzel von x vor, so setzt man die (2.3) te oder 6 te 
Wurzel von x gleich z. 
8. Beispiel: 
C 1 + ]/x 
J fx 
Enthält der Integrand die Veränderliche ® nur in der Funk 
tion e cx , so setzt man e cx = z: 
dx 
! J(z 3 + z 3 ) dz = f + y = f y cc 2 + f a? "j/aT. 
9. Beispiel: 
/ 
dx 
Jf(e cx )dx =J~ dz 
-v/t 
dz 1 1 , £ 
r = -— arc tgz = — arc tg e 
-{■ z 2 e b c 6 
e~~ + e 
Ist der Integrand eine Funktion von tg® allein, so setzt man 
f f{tgx)dx = J Y^Trf dz ' 
10. Beispiel: 
J tg 3 x dx = Jy 
dz 
C z 3 + z — z CI 
-J—rns- dx= J[*-T 
z 
dz 
+ z* J 1 + 
= I ~ \ ln (1 + z}) — \ tg 2 X + ln cos®. 
Entsprechendes gilt für Integrale von der Form J*f(cigx)dx, 
wo man ctg® = z setzt. Dagegen würden Integrale von der Form 
Jf(sinx)dx und Jf(cosx)dx durch Einführung von sin® = z bzw. 
cos x — z mit einer Quadratwurzel behaftet werden. Denn wenn 
z. B. z = sin x ist, wird dz — cos® dx, also dx = dz : ]/l — z 2 . 
Man kann aber, wenn der Integrand nur goniometri- 
sche Funktionen von ® enthält, die Substitution 
(19) tgi® = z 
machen, um das Integral zu rationalisieren. Denn dann 
ist nach Satz 104, S.,412: 
2 z 
(20) sin® = r, cos® = 
v ' 1 + z 2 ’ 
und außerdem: 
(21) 
1 + z 2 ’ 
2 dz 
tg® 
2 z , 1 -z 2 
F , ctg x = — - 
1 - z 
2 Z 
dx = 
1 + Z 2 ’ 
so daß keine Quadratwurzeln auftreten.