616 Elftes Kapitel: Auswertung von Integralen. 
11. Beispiel: 
dx 
d% ■ - = — ln (ax + b) = — ln (a tg i x + b). 
ax + b a a ° - 
dx 
r dx _ r 
J a sin x + b (1 + cos x) J i 
Häufig kommt das Integral 
J = 
J ]/ax 2 + b x + e 
vor, das ebenfalls rationalisiert werden kann. Zunächst formen wir 
den Radikanden der Wurzel um. Er ist gleich: 
b \ 2 , 4 ac — b 2 
a \x + 
2 a 
+ 
4 a 
Setzen wir i + J:2a = z, so kommt 
dx 
•fV a: 
y ax 2 + k * 
wenn die Konstante (4 a c — b 2 ): 4 a mit K bezeichnet wird. Um die 
Quadratwurzel zu entfernen, führen wir die neue Veränderliche 
t = 
ein. Dann wird: 
so daß kommt: 
]/ a x 2 + k 
f ]/ 1 - at 2 ’ dZ = ]/(1 - at 2 f dt ’ 
JY 
j 
d t 
at 2 
Dies Integral ist nach 2., 3. und 4. Beispiel zu behandeln. Man 
führe dies durch und drücke schließlich alles durch die ursprüng 
liche Veränderliche x aus, indem man wieder: 
x 2 ax + b 
t = 
1/a x 2 + k 2 a ]/a x 2 -f bx + c 
einsetzt. So findet man: 
f 
d x 
1 
J ya x 2 
+ bx 
+ e 
2 y a 
J= 
f dx 
J ybx + c 
+ c j 
J = 
r -- 
d x 
- 1 
J y^x 2 
+ bx 
+ c 
1 ö 
1 1 
2ax + b +2yäYax 2 + b x+ c 
2 a x + b — 2 ya ]/a x 2 + bx + e 
für a > 0 , 
arc tg ‘ 
2 ax + b 
2 y — a ya x 2 + bx + c 
für a < 0 . 
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