§ 3. Besondere Integrationsverfahren. 
619 
wodurch das Integral auf die schon berechneten Integrale zurück 
geführt ist. 
12. Beispiel: Die Parabel y = kx 2 soll von x = 0 bis zu irgend einer 
positiven Abszisse x rektifiziert, d. h. es soll ihre Bogenlänge s berechnet 
werden. Nach Satz 89, S. 368, ist 
-JV 
1 + 4 k 2 x 2 d x 
mit positiver Wurzel. Dies Integral ordnet sich der Form J"x n ^Rdx für 
n = 0, a = 4 k 2 , b = 0, c = 1 unter, so daß man nach (25) erhält: 
]/1 +4 k 2 x 2 
dx + 
I 
d x 
|/l + 4 k 2 x 2 
Nach der zweiten Formel (24) ist das unbestimmte Integral: 
x 2 . 1 ,/- ■. .. 1 I dx 
. dx = —yf- xy 1 + 4k 2 x 2 
]/l + 4 k 2 X 2 8Ä* 
1 
Y l + 4 k 2 x 2 
-r konst., 
somit: 
(29) 
s — jxY 1 + 4 lc 2 x 2 + 
x f dx 
2 J i/rns 
o 
Nach der ersten Formel (22) ist ferner das unbestimmte Integral: 
C dx l 2 kx + yi + 4k 2 x 2 . 
ln —— + konst. 
J "|/l + 4k 2 x 2 4k 2 kx — ]/l + ik' 2 x 2 
Wir haben dabei ]/a = ]/4A: 2 = 2k und nicht gleich — 2k gewählt. Hätten 
wir —2k genommen, so wäre auch im Numei-us des Logarithmus der Zähler 
mit dem Nenner zu vertauschen, d. h. es hätte sich dasselbe ergeben. Nun 
tritt aber noch eine zunächst störende Erscheinung ein: Das bestimmte Integral 
von 0 bis * erhält den Wert: 
dx _ 1 
]/1 + 4k 2 x 2 4 k 
2 k x + Vl 4- 4k-x 2 
ln ' —- - ln (- 1) 
2 kx — ]/l + 4k 2 x~ 
wo ln(— 1) an sich sinnlos ist. Wir entfernen es, indem wir die Differenz der 
Logarithmen in den Logarithmus eines Bruches verwandeln: 
d x 
1 , 1/1 + 4 k 2 x 2 + 2 k x 
—— - . - . — = ln >— 
yi + 4k 2 x 2 4k y 1 + 4k 2 x 2 - 2kx 
Durch Erweitern des Numerus mit yi + 4k 2 x 2 + 2 k x läßt sich dies weiter 
umfoi’men: 
/ 
d x 
]/l + 4t k 2 x 2 2 Je 
= ln ("(/1 + 4 /c“ x~ -f- 2 k x)