§ 4. Die Fourier sehe Reihe. 
621 
Jedoch gilt dies nur unter gewissen Voraussetzungen über 
die Stetigkeit und die Unstetigkeitsstellen der periodi 
schen Kurve. 
Die Betrachtungen, mittels deren man den Satz beweist, wollen 
wir so weit verfolgen, daß der Leser einen hoffentlich klaren Begriff 
von der Sache und von der einen eigentümlichen Schwierigkeit be 
kommt, die im Beweise liegt. Wer will, kann diesen Paragraphen 
auch überschlagen, doch raten wir davon ab. 
Denken wir uns, es liege irgend eine periodische Kurve vor 
wie in Fig. 292 auf S. 417, wo die Periode gleich a ist. Es leuchtet 
ein, daß man die Einheit der Abszissen, mit der man ja auch die 
Periode a zu messen hat, anders und zwar so wählen kann, daß 
der Zahlenwert der Periode gerade gleich 2n wird. Wählt man 
nämlich die neue Abszisseneinlieit so, daß sie sich zur alten verhält 
wie a zu 2n, so verhalten sich die Maßzahlen, ausgedrückt in der 
neuen Einheit, zu den alten Maßzahlen wie 2% zu a; mithin be 
kommt der Endpunkt # = a der ersten Periode in der neuen Ab 
szisseneinheit die Abszisse 2n. Durch geeignete Wahl der 
Abszisseneinheit kann man demnach immer erreichen, 
daß die Periode einer vorgelegten periodischen Kurve 
gerade gleich 2% wird. Dasselbe geht rechnerisch hervor, wenn 
man den Satz 109, S. 419, für k = a:2% anwendet. 
Die Periode 2% ist deshalb am bequemsten, weil die einfachsten 
stetigen periodischen Punktionen, nämlich sin# und cos#, nach S. 419 
die primitive Periode 27t haben. Zwar haben tg# und ctg# die 
noch kürzere primitive Periode 7t; aber sie sind nicht überall stetig, 
und außerdem bezieht sich der Satz, auf den wir hinauskommen 
wollen, auf die Sinusfunktionen. 
Da sin# und cos# die primitive Periode 2% haben, kommt 
sin 2# und cos 2# nach Satz 109, S. 419, die primitive Periode % 
zu, ferner sin3# und cos3# die primitive Periode |tt, allgemein 
sinn# und cosn# die primitive Periode 2n\n. Da jedes ganz 
zahlige Vielfache einer Periode nach S. 417 wieder eine Periode ist, 
erhellt, daß die überall stetigen Funktionen 
sin#, sin 2#, sin3#, . . . sinn#, . . . 
cos#, cos 2#, cos3#, ... cosn#. ... 
samt und sonders die Periode 2tv haben, wenn dies auch nur für 
die beiden ersten Funktionen die primitive Periode ist. Hier liegen 
nun unbegrenzt viele Funktionen vor. Deshalb ist es nicht allzu 
kühn, die Frage aufzuwerfen, ob man nicht jede vorgelegte,