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Elftes Kapitel: Auswertung von Integralen. 
überall stetige Funktion f{x) von x, der dieselbe Periode 
2 n zukommt, als eine unendliche Reibe in der Form 
f(x] = a + ¿x sin x + b 2 sin 2x -f b 3 sin 3x + ... 
+ c x cos x + c 2 cos 2x -f c 3 cos 3x 
darstellen kann, worin a, b x , c x , b 2 , c 2 , b 3 , c 3 , . . . pässend zu 
wählende Konstanten bedeuten sollen. 
Da f(x) nach Voraussetzung die Periode 2n hat, die auch den 
rechts stehenden Funktionen zukommt, genügt es, die Richtig 
keit der Formel für die erste Periode von x = 0 bis x — 2n 
darzutun. 
Die Untersuchung der Erscheinungen bei einer schwingenden 
Saite führte in der zweiten Hälfte des 18. Jahrhunderts mehrere 
Mathematiker, zunächst den Baseler Dakiel Bernoulli (1700—1782) 
und dann namentlich Euler (1707—1783), der aus der Schweiz stammte 
und in Berlin und Petersburg wirkte, zu derartigen Reihen wie die 
obenstehende, die man eine trigonometrische Reihe nennt. Später 
benutzte der französische Mathematiker Fourier (1768—1830) tri 
gonometrische Reihen in der Wärmetheorie. Er vermutete — aller 
dings blieb er den strengen Beweis dafür schuldig —, daß man eine 
ganz beliebig von x = 0 bis x — 2% gezogene Bildkurve immer 
durch eine derartige Reihe wiedergeben könne, und zeigte, welche 
Werte die Koeffizienten a, b x , c x , ¿ 2 , c 2 , b 3 , c 3 , . . . der Reihe haben 
müßten, wenn seine Vermutung richtig wäre. Deshalb nennt man 
diejenige trigonometrische Reihe, deren Koeffizienten wir nachher 
ermitteln werden, heutzutage die Fourier sehe Reihe. Einen ein 
wandfreien Beweis für ihre Richtigkeit hat erst der deutsche Mathe 
matiker Dirichlet (1805—1859) gegeben. 
Nach diesen geschichtlichen Vorbemerkungen erinnern wir daran, 
daß man bekanntlich (vgl. S. 285) mit unendlichen Reihen nicht ohne 
weiteres wie mit abgeschlossenen mathematischen Ausdrücken rechnen 
darf. Deshalb brechen wir die oben angegebene Reihenentwicklung 
nach ihren mit sin nx und cos nx behafteten Gliedern ab. Wir be 
trachten also zunächst eine Funktion von der Form: 
I cp (ar) = a + Z» 1 sin x -f ¿ 2 sin 2x + . . . -f b n sin nx 
I — 1 + c x cos x -}- c 2 cos 2x + . . . -f c n cos nx, 
wie a, b x , Cj, ¿g, c 2 , . . . b n , c n zunächst irgend welche Konstanten 
sein sollen. Diese Funktion cp{x) ist überall stetig und hat 
die Periode 2tc. Wir suchen nun die Koeffizienten a, b x , c x ,