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Elftes Kapitel: Auswertung von Integralen. 
berechnet werden. Danach beträgt er — 2 e R. Mithin geht M bei 
der Änderung von a um s über in 
2.-r 
J(Ä 2 2 6 R)dx. 
T 
Die Differenz zwischen diesem Wert und dem alten Wert ist 
2n 
—— f — 2 eRdx oder f Rdx, 
2 ti J n J 
ü 0 
denn —2 e kann vor das Integralzeichen gesetzt werden. Wir 
haben zu verlangen, daß dieser Zuwachs von M stets positiv sei. 
Wäre nun das über Rdx von 0 bis 2% erstreckte Integral von 
Null verschieden, so brauchte man nur e mit demselben Vorzeichen 
wie den Wert dieses Integrals zu wählen, um zu erreichen, daß der 
Zuwachs von M negativ würde, was nicht sein darf. Also folgern 
wir: Jenes Integral muß gleich Null sein: 
(4) 
I 
R dx — 0 
Soeben nahmen wir an, daß der erste Koeffizient a um s wachse. 
Wir lassen nun irgend einen anderen Koeffizienten von cp (ar), etwa 
den Koeffizienten b r von sin rar oder den Koeffizienten c r von cos rx 
um s zunehmen, wo r eine der Zahlen 1, 2, . . . n bedeuten soll. 
Dann erfährt cp[x) nach (1) die Zunahme 6 sin rx bzw. «cos rar, also 
R nach (2) die Zunahme — « sin ra 1 bzw. — s cos rx, d. h. R 2 nach 
(3) die Zunahme — 2 e R sin r x bzw. —2 eR cos r x. Eine ent 
sprechende Schlußfolgerung wie vorhin zeigt daher, daß man for 
dern muß: 
2 7t 
(5) 
j' Rsinrxdx = 0, J' R cos rx dx = 0 
d o 
(r = 1, 2, ... w). 
Wir werden nun sehen, daß die 2n + 1 Forderungen (4) und (5) 
gerade zur vollständigen Bestimmung aller 2n + 1 Koeffizienten 
von cp(x) ausreichen. 
Setzen wir nämlich in (4) für R den Wert (2) und für cp{x) den 
Wert (1) ein, so wird der Integrand eine algebraische Summe,