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Elftes Kapitel: Auswertung von Integralen.
Die Bedingungen (6), (7) und (8) bestimmen in der Tat alle
2n + 1 Koeffizienten a, b 1 , ... b n und c lf ... c„. Deshalb haben
wir den
Satz 165: Hat eine stetige Funktion f(x) die Periode 2n,
so hat unter allen Ersatzfunktionen von der Form
cp (x) = a -(- öj sin x -f- ¿ 2 sin 2x -j- . . . -f- b n sin nx
-f- Cj cos x + c 2 cos 2x + '... + c B cos nx
diejenige, für die das arithmetische Mittel der Quadrate
aller Fehler f{x) — cp(x) im ganzen Intervall von x — 0 bis
x — 2n am kleinsten ist, die Koeffizienten:
2jt 2jr
a = —J f{x) dx , b r = ~~J*/'(*) s i n r x dx ,
0 0
2 71
c r — ~J*f \ x ) cos r x dx (r =1, 2, ... n).
0
Bisher haben wir eine Ersatzfunktion cp ix) betrachtet, die nur
2n + 1 Summanden hatte. Jetzt wollen wir diese Anzahl über alle
Grenzen wachsen lassen. Dann ist das Ziel der Untersuchung, zu
beweisen: Wenn x = h irgend einen Wert im Intervall von x — 0
bis x — 2Ti bedeutet, strebt cp{x) für limw =oo an der Stelle x = h
gerade nach dem zugehörigen Wert f(h) von f{x). Wir wollen
zeigen, daß dieser Beweis auf den Nachweis der Richtigkeit einer
einzigen wichtigen Formel hinausläuft.
Werden in
cp ih) = a + b 1 sin h + ¿ 2 sin 2 h + . . . + b n sin n h
+ c x cos h -f c 2 cos 2 h + ... -f- c n cos n h
die in Satz 165 angegebenen Werte der Koeffizienten eingeführt,
die konstanten Faktoren sin h, sin 2 h usw., cos h, cos 2 h usw.
unter die Integralzeichen gebracht und darauf alle Integrale in ein
einziges zusammengeiaßt, so kommt:
2n
sin h sin x + sin 2h sin 2x + ... + sin nh sin nx
cos h cos x + cos 2h cos 2x ^ ... + cos nh cos nx
dx.
Da sin n h sin n x + cos n h cos n x nach Satz 103, S. 411, gleich
cos n {x — h) ist, läßt sich hierfür schreiben:
2 7t
cp ih) = i J* fix) [i cos ix — h) + cos 2{x — /<)+...+ cos n ix — A)] dx.