§ 4. Die Fourier sehe Reihe. 
627 
Wird zur Abkürzung 
S = cos (.r — h) -f cos 2 (x — h) + ... + cos n(x — h) 
gesetzt, so ergibt sich: 
(9) 
o 
Die Summe S der Kosinus der Vielfachen von x — h läßt sich um 
formen. Denn nach Satz 105, S. 412, ist: 
2 cos r(x — h) sin i-{x — h) — sin [(r + -^) {x — A)] — sin [(r — -i-) [x — A)] . 
Bildet man diese Gleichung für r = 1, 2, ... n und addiert man 
dann alle, so heben sich rechts die meisten Glieder fort; links tritt 
dabei S auf, multipliziert mit 2sini(a; — h). So kommt: 
2 S sin i (x — h) = sin [(» -f 1) (x-— A)] — sin \ [x — h), 
und demgemäß wird: 
sin {{n + JO (« — h] 
2 sin l (x — h) 
Folglich geht (9) über in: 
2ir 
(10) 
o 
Jetzt ist der Wert, den die Ersatzfunktion cp[x) für x — h 
hat, mittels eines einzigen Integrals dargestellt. Es heißt das 
DiniCHLETsche Integral, weil es von Dirichlet zur Beantwortung 
der Frage nach der Gültigkeit der Fourier sehen Reihe aufgestellt 
und untersucht worden ist. Es kommt also alles darauf an zu 
beweisen, daß das DiRiCHLETsche Integral fürlimw = oo den 
Grenzwert nf(k) hat. Denn nur dann hat <p{h) nach (10) den 
Grenzwert f (h). 
Hier aber brechen wir die Untersuchung ab. Die Über 
legungen nämlich, die den Beweis dafür geben, daß das Dirichlet sehe 
Integral für limrc =oo nach %f[h) strebt, sind für die meisten unserer 
Leser wohl zu schwierig. Wer sie kennen lernen will, möge sie in 
Dirichlet s eigenen Arbeiten nachlesen, nämlich in der Abhandlung 
„Sur la convergence des séries trigonométriques etc.“ im Journal 
für die reine und angewandte Mathematik, 4. Bd. 1829, S. 157—169, 
und in der Abhandlung: „Über die Darstellung ganz willkürlicher 
Funktionen durch Sinus- und Kosinusreihen“ im Repertorium der 
Physik, 1. Bd. 1837, S. 152—174. Beide Arbeiten findet man auch 
in Dirichlets Gesammelten Werken, l.Bd. Berlin 1889, S. 117—132