628 
Elftes Kapitel: Auswertung von Integralen. 
und S. 133—160, und die zweite ist bequemer zugänglich durch 
den Sonderabdruck in Ostwalds Klassikern der exakten Wissen 
schaften Nr. 116 (Leipzig 1900). 
Wir begnügen uns damit, über die sogenannten Dieichlet sehen 
Bedingungen bloß zu berichten: Dieichlet erkannte, daß die 
jenigen Funktionen f[x), die durch eine FouEiEEsche Reihe im Inter 
vall von x — 0 bis x = 2 n dargestellt werden können, nicht überall 
stetig zu sein brauchen. Es genügt vielmehr, daß die Funk 
tion f{x) im Intervall von x = 0 bis x = 2n, abgesehen von 
einer endlichen Anzahl von Stellen, stetig sei und nur eine 
endliche Anzahl von Maximis und Minimis habe; und zwar 
dürfen die Unstetigkeitsstellen sogenannte Sprungstellen 
sein, d. h. Stellen, wo der Wert der Funktion von einer endlichen 
Größe zu einer andern endlichen Größe springt. Beispielsweise kann 
das Bild der Funktion innerhalb einer Periode wie in Fig. 396 be- 
Fig. 397. 
Fig. 396. 
schaffen sein, wo die Kurve zwei Sprungstellen hat. Die Inte 
grale, die nach Satz 165 zur Berechnung der Koeffizienten aus 
gewertet werden müssen, haben auch in diesem Fall eine bestimmte 
Bedeutung, wenn man sie nur immer in Summen von Integralen 
zerlegt, von denen sich jedes einzelne auf ein Intervall stück bezieht, 
in dem keine Sprungstelle vorkommt. Man kann beweisen, daß die 
FouEiEEsche Reihe für einen Wert x — h, zu dem gerade eine 
Sprungsstelle gehört, nicht gleich dem einen oder andern zugehörigen 
Ordinatenwerte wird, sondern gleich ihrem arithmetischen 
Mittel ist. 
Da die FouEiEEsche Reihe für f{x) lauter Glieder mit der 
Periode 2?r hat, gibt sie für jedes x einen Wert, indem ihre Bild 
kurve durch periodische Wiederholung desjenigen Stückes der Bild 
kurve von f(x) dargestellt wird, das zum Intervall von x — 0 bis 
x — 2tc gehört. Wenn z. B. f(x) gleich x gewählt wird, ist das 
Bild wie in Fig. 397. Sobald f{x) an den Intervall grenzen x = 0 
und x — 2 n verschiedene Werte hat (wie in diesem Beispiel /*(&) = *> 
wo es die Werte 0 und 2 n sind), hat das Bild der FousiEESchen