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Elftes Kapitel: Auswertung von Integralen.
Periode 2 % in eine genügend große Anzahl von gleichen Teilen —
in Fig. 400 haben wir 24 gewählt — und multipliziert die zu den
dadurch erhaltenen Abszissen x gehörigen Ordinaten f(x) bzw. mit
sin x oder cos x. Dies kann man mittels der Hilfs
figur 401 durch einfaches Aufträgen der Ordinaten
auf den Radien und Abgreifen der Abstände vom
wagerechten und senkrechten Radius leicht aus
führen. Dieselbe Hilfsfigur wird ebenso zur Er
mittelung der Werte von f[x) sin 2 x und f(x) cos 2 x
benutzt, usw. So haben wir in Fig. 400 aus der
angenommenen Bildkurve einer Funktion f(x) die
Bildkurven von f(x) sin x, f{x) cos x, ferner die von f(x) sin 2 x und
/■(a:)cos2x und schließlich auch die von /'(ar)sin3x und /’(ar)cos 3x
abgeleitet. Die Flächen der Kurven sind positiv oder negativ zu
rechnen, je nachdem sie oberhalb oder unterhalb der a>Achse liegen.
Man kann sie entweder durch ein Näherungsverfahren (vgl. S. 247 u. f.)
oder mit Hilfe eines Planimeters (vgl. S. 243 u. f.) bestimmen. Wir
haben sie in Fig. 400 (allerdings in der Zeichnung in doppelter
Größe) mit dem Planimeter ausgemessen und die Werte gefunden
Fig. 401.
0,006,
-0,011, - 1,600, - 0,022,
3,150, 0,033, 0,033,
wobei die Einheit das Quadrat über der Längeneinheit der Figur
ist. Dividiert man den ersten Wert mit 2 n, dagegen die übrigen
Werte mit n, so gehen die ersten sieben Koeffizienten der Fourier-
schen Reihe hervor:
a = 0,001,
\ = - 0,004, ¿ 2 = - 0,509, b s = - 0,007;
Cj = 1,003, c 2 = 0,011, c 3 = 0,011.
Bedenkt man die bei diesem Verfahren unvermeidlichen Fehler, so
sieht man sich veranlaßt, die Werte noch weiter abzurunden:
a = 0,
¿ 1 = 0,
c, = 1 ,
^2 2" J h ^ ’
= 0,
0.
Hiernach lautet die nach dem siebenten Glied abgebrochene Fourier-
sche Reihe einfach so:
cos x — ^ sin 2 x.
Tatsächlich haben wir in der obersten Zeichnung der Fig. 400 ge
rade die Bildkurve dieser Funktion dargestellt. Wie man sieht, ist
das graphische Verfahren zur Ermittelung der ersten Koeffizienten
werte gar nicht so schlecht.
