§ 1. Partielle Differentiation. 
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2. Beispiel: Die partiellen Differentialquotienten der Funktionen 
X = xy-, 
nach x sind : 
d x 
d x 
= r 
dz 
dx 
z — ln (x + e y ), x = sin (x 2 + y) 
d x 1 d x 
d x 
d x 
= 2 x cos (x 2 + y). 
x + es 
Ändert sich also nur x um das Differential dx, so erfahren diese vier Funk 
tionen die unendlich kleinen Änderungen: 
y dx dx 
x 2 * x + e y 
y- dx. 
2 x cos (a? 2 + y)dx. 
Zweitens bleibe jetzt x unverändert, während y um dy 
zunehme. Dann gilt Entsprechendes wie vorher; nur nimmt jetzt 
y die Rolle der unabhängigen Veränderlichen an, während x als 
Konstante zu behandeln ist. Man hat also z partiell nach y zu 
differenzieren, d. h. so, als ob das in z=f{x,y) auftretende x 
eine Konstante wäre. Dies geschieht wieder nach den gewöhnlichen 
Differentiationsregeln; das einzige, was dem Leser zu Anfang viel 
leicht unbequem ist, besteht darin, daß hier ,y als Veränderliche 
vorkommt, nach der differenziert wird. Der hervorgehende par 
tielle Differentialquotient von z nach y wird mit dz-.dy 
bezeichnet, und z erfährt den Zuwachs: 
3. Beispiel: Die partiellen Differentialquotienten der Funktionen 
x y l , ~ , ln (x + e y ) y sin (:x 2 + y) 
nach^ sind: 
1 e y 
2 xy, — , , cos (x 2 + y), 
x x + e y 
d. h. ändert sich y um dy, während x konstant bleibt, so erfahren diese 
Funktionen die Zunahmen: 
dv e y dy 
2xydy7, , cos (x- + y) d y. 
x x + e y 
Im 1. Beispiel lag die Funktion * = x 2 + y 2 vor. Ihr partieller Diffe 
rentialquotient hinsichtlich y ist: 
, dx _ y 
d y Yx 2 + y 2 
demnach ihre unendlich kleine Änderung, wenn nur y um dy wächst: 
d