640 Zwölftes Kapitel: Funktionen von mehreren Veränderliehen. 
Nach (3), S. 74, sind die partiellen Differentialquotienten von 2 
oder f[x, y) nach x und y definiert durch die Formeln: 
! dx _ fix+Ax,y)-fix,y) 
d* _ |- m f{x,y + Ay) - f(x,y) _ 
dy A y=0 A y 
Jedesmal ist beim Limeszeichen angegeben, welche Größe nach 
Null streben soll. 
Jetzt wollen wir den allgemeinen Fall betrachten, nämlich 
gleichzeitig x und y wachsen lassen. Zunächst stelle man sich vor, 
x und y ändern sich zeitlich, seien also irgend welche stetige und 
differenzierbare Funktionen x = cp[t), y = xp(t) der Zeit t. Wenn t 
um At wächst, mögen Ax und Ay die zugehörigen Zunahmen von x 
und y sein, also: 
Ax = cp (t + At) — cp (¿), Ay = pj [t + At) — ip(t). 
Dabei geht z = f(a-,y) in f{x + Ax, y + Ay) über. Mithin wird 
der zugehörige Zuwachs von z: 
Az = f{x + Ax,y + Ay) — f{x,y). 
Rechter Hand steht zuerst ein Ausdruck, der aus dem Subtrahenden 
f[x,y) hervorgeht, wenn,sowohl x um Ax als auch y um Ay wächst. 
Es ist zweckmäßig, dies in zwei Schritte zu zerlegen, wobei einmal 
nur x um Ax und das andere Mal nur y um Ay zunimmt. Das er 
reicht man, indem man rechter Hand den Ausdruck fix, y + Ay) sub 
trahiert und dann wieder addiert, was gestattet ist. So kommt: 
Az = f{x + Ax,y + Ay) — f\x, y Ar Ay) 
+ f( x , V + Ay)- f[x, y). 
In der ersten Differenz rechts steht jetzt ein Minuend, der aus 
dem Subtrahenden fix, y + Ay) hervorgeht, wenn nur x um Ax 
wächst, und in der zweiten Differenz rechts steht ein Minuend, der 
aus dem Subtrahenden fix,y) hervorgeht, wenn nut y um Ay wächst. 
Dividiert man die erste Differenz mit Ax und multipliziert man sie 
dann wieder mit Ax, so bleibt alles richtig. Ebenso werde die 
zweite Differenz mit Ay dividiert und multipliziert. Schließlich 
werde die ganze Gleichung mit At dividiert. Dann kommt: 
A% _ f[x + Ax,y + Ay) — fix, y + Ay) Ax 
+ 
Ax 
fix, y + Ay) 
fix, y) 
Ay