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W. ScHEIBNER, 
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oder wenn man x == cos^«, folglich v' — —e fi schreibt, die Trans- 
formationsformeln 
- w (ho 
tg I cp — e 'i sinw , 
2 e 
ist at» __ l‘<P 
Jo JUo,e et ) Jo 
dtp 
r o z/(ro,e £i ) Jo 4{(p, cos-|e) 
hervor, welche zeigen, wie ein elliptisches Integral, dessen Modul 
eine complexe Einheit, durch Multiplication mit der Quadratwurzel 
des Moduls auf ein anderes mit reellem Modul < i reducirt werden 
kann. 
Verbindet man ferner l a mit 111 a , so wird 
tgz 
'4 (Z l l ) 
= t6i ^ (we) ’ • =1 
> dio 
’0 4/ (w q) 
oder wenn man x statt schreibt, woduch p' = —, p = , 
X X 
x'tg (p 
J [cp x) 
tgro J (io q) C^ '= —7 / 
1 V ’ Jo J(cpx) x r J G 
i r ü) (ho 
'0 4{ioq) 
Diese Transformation entspricht dem Uebergang von q in —q*) und 
ist offenbar reciprok: in der That lasst sich die Gleichung zwischen 
(p und ro zerlegen in die beiden äquivalenten 
tgw = x'tgejp und J[(oq) 
J [ f p x) 
36. 
Die Transformationen 1 und II sind nach Jacobi’s Bezeichnung 
supplementär (supplementarii ad duplicationem) und tragen die Namen 
von Gauss und von Landen. Wegen ihres häufigen Gebrauches 
mögen die hauptsächlichsten Umformungen der Gleichungen zwischen 
den betreffenden Amplituden hier folgen. 
I a x ~ am 
2 M u 
/' = 
smz = 
^Sin x = 
(i+x') sin<jp I— J(p 
i -+- z/ x (i — x') sin<p 
I — zl (p 
l +J(p 5 
Sin (p = 
I — X 
I + x' 
T -hfl) sinx 
1 f.i sin x 
p’li'smx 
z/ 2 / — n cos l x 
*) In Betrelf des Uebergangs von q in — q vergl. Jacobi , Sur la rotation 
d’un corps, Werke Bd. II, S. 173 oder Crelle’s Journal, Bei. 39, S. 327.