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Erster Abschnitt. 
nicht mehr aus, um die Natur dieser Functionen welche elliptische 
Integrale genannt werden, erforschen zu können. Zu diesem Zwecke 
eignen sich nur die neuen Gebilde, welche unter dem Namen der Ja 
cob ¡’sehen oder der Thetafunctionen in die Wissenschaft eingeführt 
worden sind, und ihre Entstehung einer Erweiterung des Begriffes 
der binomischen Reihe verdanken, während die Logarithmen, die Expo 
nential- und Kreisfunclionen mit Hülfe dieser Reihe, in ihrer einfach 
sten Gestalt, leicht und vollständig entwickelt werden konnten. Wenn 
nun auch der Entwickelungsgang der Wissenschaft der Zeit nach that- 
sächlich ein anderer gewesen ist, und die Mathematiker erst auf diese 
Gebilde, von denen man schon mehr als ein Jahrhundert lang Kennt- 
niss hatte, durch das Studium der Integralrechnung wieder aufmerksam 
geworden sind, so erscheint doch diese Auffassungsweise den Lesern 
eines Buches gegenüber gerechtfertigt, welche in die Rechnung mit 
den Thetafunctionen ebenso eingeführt werden sollen, wie sie bereits 
in die Rechnung mit Logarithmen und Kreisfunctionen vollständig ein 
geweiht sind. 
Ehe wir aber die Lehre von den Thetafunctionen ausführlicher 
abhandeln können, ist es nothwendig, vorher eine Vorstellung von 
den wichtigsten Eigenschaften der elliptischen Integrale zu geben. 
§. 2. 
In dem allgemeinen elliptischen Integrale 
lässt sich die Wurzelgrösse y, unter welcher wir den Ausdruck 
}/E (x* + A x 3 +Bx*+Cx + D) 
verstehen, immer so umformen, dass das Polynom nur die geraden 
Potenzen der Veränderlichen x enthält. Um dies nachzuweisen, wollen 
wir annehmen, dass durch die Substitution 
x = z — \A 
das Polynom bereits die Gestalt 
y = |/jE (z 4 + 2as* + 4bz 4 c) 
angenommen hat. 
Bezeichnen wir das Polynom unter dem Wurzelzeichen kurz mit 
F(z), so ist 
F(z) = z* -J- 2az 2 4 4&s 4 c — 4* a "f“ ¡r) — ( a "l _ -{- c>