Reduction einiger speciellen Integrale auf elliptische.
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(4-)
f£= = v"Y + ^(o,v<y
a J kxyhx
+ a’Q(o, v")J'g{x", v"'f dx"- a'%(o, v'fj'gix',v')’ix'.
Durch Anwendung der Formel
ho 2 hx" 1 — go*gx* — 1
führt man aber Integrale von der Form
Jgx* dx
unmittelbar auf elliptische Integrale erster und zweiter Gattung zurück.
Mit Hülfe der beiden letzten Paragraphen können nun auch die
Integrale:
fVß- und f-
J x hx J
gx 1 dx
y'hx J ]/ hx
durch elliptische Integrale ausgedrückt werden.
Da
§• 148.
Q(jn — x) h(\n — jx,\v) — 1
' ' X ~~ dx ~ Q, (4-7T — x) h (\n — ix, }v) -f 1 ’
so wird, für \n — ix = z,
fWx = ^M
'Ä®+ 1
und
^ f dz(hz-\-1)
hz — 1 J }/fiz* —T
/d=-»/7ÌS
Wendet man also die Formeln (14.) und (15.) in §. 144 an, so
lassen sich auch die Integrale:
r hxdx
A
und
/ dx
fhx 2 - 1
]/hx 2 — 1
auf elliptische Integrale zurückführen.
Das erste dieser Integrale ist aber unmittelbar auf ein elliptisches
Jntegral erster Gattung zurückzuführen, da nach §.51 N. 16
(Io(iohxdx = dtp und hx 9 — ~ (1 — k 2 sin(p*),
r