Zweiter Abschnitt. 
Die Bildungsweise der Thetafunctionen. 
§. 11. 
Erweiterung des Begriffs der Potenz eines Binoms und ihrer Entwickelung. 
Die Verwandlung eines Products von n gleichen Factoren 
(1 — a;)(l — a?)'(l— x)... (1 — x) = (1 — x) n 
in eine nach Potenzen von x fortschreitende Reihe, ist zuerst von 
Newton benutzt worden, um auch zusammengesetztere Ausdrücke, und 
namentlich die einfachsten Kreisfunctionen, in solche Reihen zu ent 
wickeln. Er erkannte zugleich die Bedeutung dieser algebraischen Ge 
bilde auch in dem Falle, wenn dem n ein gebrochener oder negativer 
numerischer Werth beigelegt wird, und die gleichzeitigen grossen Ma 
thematiker verfolgten diese Gedanken weiter, bis endlich Euler in sei 
ner Einleitung in die Analysis des Unendlichen, welche 1748 erschien, 
ein vollständiges Lehrgebäude der Analysis des Endlichen aufstellen 
konnte, dem Ideen von Newton und Leibnitz und die Entdeckungen 
der Gebrüder Jacob und Johann Bernoulli zu Grunde lagen. 
In diesem grossartigen Werke benutzt aber Euler bereits auch 
Gebilde von der Form 
(1 — x)(\ — ax)(l— xr 2 ) (1 — xi' 3 )... 
hauptsächlich um durch ihre Entwickelung in Reihen gewisse Eigen 
schaften der Zahlen zu erforschen, und bedient sich ihrer dann später 
bei zahlentheoretischen Untersuchungen. 
Selbst vor Euler hatte schon Jacob Stirling in seiner Methodus 
differentialis, welche 1730 in London herauskam, bei sehr merkwür 
digen Reihenentwickelungen, die wir später mittheilen werden, Aus- 
Schellbach, elliptische Integrale. 2