§ 2. Partielle Differentialquotienten
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die sie erfährt, sobald nur x oder nur y oder nur z um eine
gewisse Größe h x bzw. k x bzw. l x wächst, und wir bezeichnen
sie entsprechend wie die partiellen Differentiale. So z. B. ist die
auf die Zunahme h x von x bezügliche partielle Differenz diese:
= f(x + h x , y, z) - fix, y, z).
Da die partiellen Differenzen erster Ordnung von f wieder
Funktionen von x, y, z sind, können wir von ihnen abermals
partielle Differenzen bilden, usw. So geht eine partielle Diffe
renz n ter Ordnung von f hervor, wenn wir insgesamt dem x
nach und nach a Zunahmen h x , . . . h a , dem y insgesamt
ß Zunahmen k x , k 2 , . . . kß und dem z insgesamt y Zunahmen
l x , h> ■ • • ly erteilt haben, vorausgesetzt, daß a ß + y = n
ist. Dabei ist nach Nr. 62 und nach einer Bemerkung in
Nr. 66 die Reihenfolge der a -(- ß -f- y Operationen ohne Belang
für das Ergebnis.
Durch Betrachtungen wie in Nr. 63 und 65 findet man
mit Hilfe des Mittelwertsatzes folgende Darstellung dieser
partiellen Differenz w t6r Ordnung:
Affi.. . d. . . A^fA^fK . . Aff f = h x ... h a k x ... kß l x ... l y
‘fx*/i^i-t z+Vih-) ^Vyly))
wo die 6, ff und 17 positive echte Brüche sind. Vorausgesetzt
ist dabei, daß die Funktion f nebst ihren Ableitungen bis zur
Ordnung a + ß + y in den Intervallen von x bis x 4- \ H f- h a ,
von y bis y + k x -{- • + kß und von z bis z + h + • • ■ + l Y
bestimmte endliche Werte habe. Durch Division mit dem
Produkte aller Zunahmen h, k und l von x, y und z geht ein
partieller Differenzenquotient (cc + ß 4~ y) ter Ordnung hervor:
1) A^^A^. . . A^'ff
X * * • X y ' * * y z z 1
h x ... h a k, ... kß l x ... ly
fx a yp+ Q U 4-ffi^ld Vftßkß, Z + rj x l x -\ \-Vyly)-
Wählen wir alle Zunahmen h x , ... h a von x gleich Ax,
alle Zunahmen k x , . . . kß von y gleich Ay und alle Zunahmen
l x , .. .ly von z gleich Az, so können wir dies Ergebnis kürzer
schreiben. Dann ist z. B. die Summe S x h x 6 a h a
zwischen Null und aAx gelegen, so daß als Formel für den
partiellen Differenzenquotienten diese hervorgeht:
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