§ 3. Differentiation der zusammengesetzten Funktionen |05 
ausreclmen und darauf in jedem Grliede das darin auftretende 
Produkt von der Form 
fZr.fi 
durch die entsprechende höhere Ableitung 
ga + ß + Y + 
fu<*vßwY••• °d er 
du a dv^d'i 
ersetzen. Da dies im Falle n = 2 schon bewiesen ist, können 
wir es allgemein so beweisen: Wir nehmen an, daß es für 
irgendein positives ganzes n richtig sei, und zeigen, daß es 
dann auch für den nächstfolgenden Wert n -f- 1 stimmt. 
Es möge ausgerechnet die Summe hervorgehen: 
(!) (/>i + /> 2 + /> s -4 T = 2c fl fi fl - ■■ <H di . . ., 
wobei c den Koeffizienten eines allgemeinen Gliedes bedeute, 
so daß nach Annahme: 
(2) 
wird. Nun ist nach Satz 22 in Nr. 42 der Differentialquotient von 
fu a vß wY .. . 
gleich: 
K a + 1 vßwY ... a i + fu a vß +1 wY ... a 2 + f u <*vß w Y + l ...®3 + *■ ' ’> 
so daß aus (2) durch Differentiation folgt: 
= 2 C (f u «+i v ßwY... a i + fu°vß +i wY... a 2 H ) a$ a£ al • • •. 
Dieser Ausdruck aber geht aus 
• “1 +fift*'fi ...«, + •• -)a\<4al... 
dadurch hervor, daß man nach dem erwähnten Verfahren jedes 
Produkt von Ableitungen erster Ordnung durch die entspre 
chende Ableitung höherer Ordnung ersetzt. Der letzte Aus 
druck ist nun gleich 
2c fu fv ft: • • • <4 al. .. (/;% + f v a 2 + f w a 3 -j ) 
oder nach (1) gleich der (» -f- l) ten Potenz von f u a t + f v a 2 
+ f w a % + • • •. Hiermit ist der Beweis beendet. 
Satz 5: Ist f eine Funktion von ganzen linearen Funktionen 
u = a x x + h x , v = a 2 x + w = a 3 x + & 3 , ...