§ 3. Differentiation der zusammengesetzten Funktionen 107 
differenziert. So gehen aus dem ersten Gliede rechts nach 
Nr. 35 die Glieder hervor: 
(4) u'v^wW -f- uv'w( 0) + u'v (0) w', 
die den Gliedern (3) analog sind. Dieselbe Analogie gilt bei 
den übrigen Gliedern. Während man bei der Berechnung der 
zweiten, dritten usw. Potenz der Summe u -j- v -f- w jedes schon 
erhaltene Glied immer wieder mit u -f v + w multiplizieren 
muß, wodurch je drei Glieder hervorgehen, muß man hei der 
Berechnung des zweiten, dritten usw. Differentialquotienten des 
Produktes uvw jedes schon erhaltene Glied immer noch ein 
mal differenzieren, wodurch ebenfalls je drei Glieder hervor 
gehen. Die oben bemerkte Analogie gilt alsdann stets. 
Um dies zu beweisen, wollen wir annehmen, diese Analogie 
sei schon bis zur n ten Potenz der Summe bzw. bis zum n ten 
Differentialquotienten des Produktes festgestellt. Es sei also 
(5) u a vi i w Y , wo a ß -\- y = n ist, 
ein Glied der Entwicklung von (u 4 v 4* w ? ) n und 
(6) w^> 
das entsprechende Glied des n ten Differentialquotienten von uvw. 
Wenn wir nun das Produkt (5) mit u 4- v + w multiplizieren, 
kommt: 
u a + 1 vßw Y 4- u a vß + 1 w y 4“ u a v? w Y + 1 . 
Wenn wir andererseits das Glied (6) noch einmal differenzieren, 
kommt nach Nr. 35: 
w (a + l) v {ß) w (y) u (a) v (ß + l) W (Y) _J_ m( s )## + 1 ), 
womit die Behauptung bewiesen ist, weil die Analogie immer 
noch besteht. 
Es leuchtet ein, daß dieselbe Analogie für die n te Potenz 
einer Summe u x 4- w 2 + • • • 4- von m Summanden und für 
den n ten Differentialquotienten eines Produktes u x u x .. .u m von 
m Faktoren ganz ebenso zu beweisen ist. Mithin folgt: 
Satz 6: Die Formel für den n ten Differentialquotienten 
eines Produktes von m Funktionen u x , u 2 , ... u m von x kann 
aus der Formel für die n te Potenz der Summe der m Funktionen 
u x , w 2 ,... u m so gewonnen werden: Man rechnet die n te Potenz voll 
ständig aus, wodurch eine Summe hervorgeht. In dieser Summe 
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